Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Arithmétique · Leçon 1

Introduction et division euclidienne

Quotient et reste : partager sans couper.

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Cours de Mathématiques : « Introduction et division euclidienne », proposé par ndolomathndolomath

Division euclidienne

💡 Idée principale : La division euclidienne partage un nombre entier en parts égales entières et donne ce qui reste. On écrit

a = b \times q + r

, avec un reste

r

toujours plus petit que le diviseur

b

Ce que tu vas apprendre

Poser et effectuer une division euclidienne.
Écrire l’égalité $a = b q + r$ avec $0 \leq r < b$ .
Utiliser la division euclidienne pour résoudre des problèmes de partage et de rangement.

Pourquoi cette leçon ?

Ranger des œufs dans des plateaux de 30, répartir des élèves en équipes, savoir quel jour de la semaine tombera une date : on cherche combien de groupes complets on peut faire et ce qui reste.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

7 \times 8

;

12 \times 15

;

25 \times 40

Complète :

56 = 8 \times \dots

Range dans l’ordre croissant : 45 ; 54 ; 44 ; 405.

Situation problème : Les plateaux d’œufs

Une fermière de Mbouda a ramassé 437 œufs. Elle les range dans des plateaux de 30 œufs.
Combien de plateaux complets peut-elle remplir ? Combien d’œufs restera-t-il ?

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Activité d’apprentissage

On cherche combien de fois 30 est contenu dans 437.

Calcule $30 \times 10$ , $30 \times 14$ et $30 \times 15$ . Lequel dépasse 437 ?
Combien de plateaux complets la fermière peut-elle remplir ?
Combien d’œufs reste-t-il ? Ce reste peut-il être égal à 30 ou plus ? Pourquoi ?
Écris une égalité qui relie 437, 30, le nombre de plateaux et le reste.

Vocabulaire

Dans la division euclidienne de

a

(le dividende) par

b

(le diviseur, non nul), on obtient un quotient

q

et un reste

r

entiers tels que :

a = b \times q + r et r < b

Exemple à traiter : Pose la division euclidienne de 785 par 12 et écris l’égalité obtenue.

R2 · Reste nul

Si le reste est nul,

a = b \times q

: on dit que

b

divise

a

, que

a

est un multiple de

b

, ou que

a

est divisible par

b

Exemple à traiter : 252 est-il divisible par 7 ? par 9 ? par 11 ? Utilise des divisions euclidiennes.

Interpréter le résultat

Selon le problème, la réponse est le quotient, le reste, ou le quotient augmenté de 1 (par exemple quand il faut un bus de plus pour les personnes restantes).

Exemple à traiter : 158 élèves partent en excursion dans des bus de 45 places. Combien de bus faut-il ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Reste trop grand

Si le reste est supérieur ou égal au diviseur, le quotient est trop petit.

⚠ Mauvaise réponse au problème

On vérifie si le problème demande le quotient, le reste ou un bus de plus.

Exercice d’application

Effectue les divisions euclidiennes de 1 000 par 13 et de 2 026 par 7.
Le 1er janvier 2026 était un jeudi. Quel jour de la semaine sera le 100e jour de l’année ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Division euclidienne :

a = b \times q + r

avec

r < b

. Si

r = 0

b

divise

a