Angles opposés par le sommet

Deux droites sécantes forment deux paires d’angles égaux.

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Cours de Mathématiques : « Angles opposés par le sommet », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Deux droites sécantes forment quatre angles. Les angles opposés par le sommet ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de l’autre : ils sont toujours égaux.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître deux angles opposés par le sommet.
Savoir qu’ils sont égaux et le justifier.
Calculer les quatre angles formés par deux droites sécantes.

Pourquoi cette leçon ?

Une paire de ciseaux ouverte, deux routes qui se croisent, les branches d’une croix : connaître un seul angle suffit pour connaître les trois autres.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le supplémentaire de 40°.

Trace deux droites sécantes.

Rappelle la définition d’angles adjacents.

Situation problème : Le carrefour

À un carrefour de Garoua, deux routes rectilignes se croisent. L’angle entre elles, du côté de la pharmacie, mesure 52°.
Quels sont les trois autres angles formés au carrefour ?

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Activité d’apprentissage

On trace deux droites sécantes en $O$ et on nomme les angles $\hat{1}$ , $\hat{2}$ , $\hat{3}$ , $\hat{4}$ dans le sens des aiguilles d’une montre.

Mesure les quatre angles. Lesquels sont égaux ?
Que vaut $\hat{1} + \hat{2}$ ? et $\hat{2} + \hat{3}$ ? Pourquoi ?
Déduis-en que $\hat{1} = \hat{3}$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

Deux angles sont opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Exemple à traiter : Trace deux droites sécantes et nomme les deux paires d’angles opposés par le sommet.

R2 · Propriété

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Justification : chacun est le supplémentaire d’un même angle adjacent.

Exemple à traiter : Deux droites sécantes forment un angle de 117°. Calcule les trois autres angles.

Utilisation

Avec deux droites sécantes, un seul angle connu permet de calculer les trois autres : son opposé est égal, ses voisins sont ses supplémentaires.

Exemple à traiter : Trois droites sont concourantes en

O

; deux angles consécutifs mesurent 50° et 70°. Calcule les quatre autres angles.

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Erreurs fréquentes

⚠ Opposés et adjacents

Deux angles voisins ne sont pas opposés : ils sont supplémentaires.

⚠ Côtés non prolongés

Si les côtés ne sont pas dans le prolongement l’un de l’autre, les angles ne sont pas opposés.

Exercice d’application

Deux droites se coupent ; un angle mesure le double de son voisin. Calcule les quatre angles.
Démontre que les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires sont perpendiculaires.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Deux angles opposés par le sommet sont égaux. Deux angles voisins formés par deux droites sécantes sont supplémentaires.