Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Vecteurs · Leçon 3

Addition des vecteurs

Enchaîner deux déplacements avec la relation de Chasles.

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Cours de Mathématiques : « Addition des vecteurs », proposé par ndolomathndolomath

Somme de vecteurs

💡 Idée principale : Additionner deux vecteurs, c’est enchaîner deux déplacements. La relation de Chasles

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}

et la règle du parallélogramme permettent de construire une somme de vecteurs.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser la relation de Chasles.
Construire la somme de deux vecteurs (bout à bout ou parallélogramme).
Simplifier une somme de vecteurs.

Pourquoi cette leçon ?

Une pirogue traverse une rivière en ramant droit vers l’autre rive, mais le courant la fait dériver. Son déplacement réel est la somme du déplacement dû aux rames et de celui dû au courant.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis un point

D

tel que

\vec{A B} = \vec{C D}

Rappelle la définition de deux vecteurs opposés.

Construis l’image d’un point par une translation.

Situation problème : La pirogue et le courant

Sur le fleuve Sanaga, un piroguier rame pour traverser. Sans courant, il irait de $A$ à $B$ (perpendiculairement à la rive). Le courant seul l’emporterait de $A$ à $C$ , le long de la rive.
Où arrivera-t-il en réalité ? Comment représenter son déplacement réel ?

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Activité d’apprentissage

On place trois points $A$ , $B$ , $C$ non alignés.

Construis le point $D$ tel que $\vec{B D} = \vec{A C}$ . Que représente le déplacement de $A$ à $B$ puis de $B$ à $D$ ?
Quelle est la nature du quadrilatère $A B D C$ ?
Écris le déplacement total de $A$ à $D$ comme une somme de deux vecteurs.
Réponds à la situation problème.

Relation de Chasles

Pour tous points

A

B

C

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}

L’extrémité du premier vecteur est l’origine du second.

Exemple à traiter : Simplifie :

\vec{M N} + \vec{N P}

;

\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D}

;

\vec{A B} + \vec{B A}

R2 · Règle du parallélogramme

Pour additionner deux vecteurs de même origine :

\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}

, où

D

est le point tel que

A B D C

est un parallélogramme.

Exemple à traiter : Construis

\vec{A B} + \vec{A C}

pour un triangle

A B C

donné.

Soustraire un vecteur

Soustraire un vecteur, c’est ajouter son opposé :

\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C B}

Exemple à traiter : Simplifie :

\vec{M P} - \vec{M N}

;

\vec{A B} - \vec{C B}

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Erreurs fréquentes

⚠ Chasles mal enchaîné

\vec{A B} + \vec{C D}

ne se simplifie pas directement : les lettres ne s’enchaînent pas.

⚠ Additionner les longueurs

La longueur de

\vec{u} + \vec{v}

n’est pas, en général, la somme des longueurs.

Exercice d’application

Simplifie : $\vec{A C} + \vec{C B} + \vec{B A}$ ; $\vec{E F} - \vec{G F} + \vec{G E}$ .
$A B C D$ est un parallélogramme. Simplifie $\vec{A B} + \vec{A D}$ et $\vec{A B} - \vec{A D}$ .
Réponds à la situation problème par une construction.

À retenir

Chasles :

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}

. Même origine : règle du parallélogramme. Soustraire, c’est ajouter l’opposé.