Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Vecteurs · Leçon 2

Égalité de vecteurs

Même direction, même sens, même longueur : le parallélogramme.

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Cours de Mathématiques : « Égalité de vecteurs », proposé par ndolomathndolomath

Vecteurs égaux

💡 Idée principale : Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. L’égalité

\vec{A B} = \vec{C D}

se traduit par un parallélogramme

A B D C

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître deux vecteurs égaux.
Traduire $\vec{A B} = \vec{C D}$ par un parallélogramme.
Construire un point défini par une égalité vectorielle.
Caractériser le milieu d’un segment par des vecteurs.

Pourquoi cette leçon ?

Deux voitures qui roulent côte à côte à la même vitesse ont des déplacements égaux, même si elles ne partent pas du même point. L’égalité de vecteurs décrit ces déplacements identiques.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle les caractéristiques d’un vecteur.

Rappelle les propriétés des diagonales d’un parallélogramme.

Construis le symétrique d’un point par rapport à un autre point.

Situation problème : Les deux voitures

Sur le plan d’un parking, une voiture se déplace de $A$ à $B$ et une autre, dans la même direction, le même sens et sur la même distance, de $C$ à $D$ . Les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ne sont pas alignés.
Quelle figure forment les points $A$ , $B$ , $D$ , $C$ ? Que peut-on dire des segments $[A D]$ et $[B C]$ ?

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Activité d’apprentissage

On place trois points $A$ , $B$ , $C$ non alignés.

Construis le point $D$ tel que le déplacement de $C$ à $D$ soit le même que celui de $A$ à $B$ .
Quelle est la nature du quadrilatère $A B D C$ ? Justifie.
Construis le milieu $I$ de $[A D]$ . Est-il aussi le milieu de $[B C]$ ?
Réponds à la question de la situation problème.

Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Un même vecteur peut donc être représenté par plusieurs flèches.

Exemple à traiter :

A B C D

est un parallélogramme. Écris toutes les égalités de vecteurs que tu peux lire sur la figure.

R2 · Égalité et parallélogramme

\vec{A B} = \vec{C D}

si et seulement si

A B D C

est un parallélogramme (éventuellement aplati), c’est-à-dire si et seulement si

[A D]

[B C]

ont le même milieu.

Exemple à traiter : On donne

\vec{E F} = \vec{G H}

. Quel quadrilatère est un parallélogramme ? Attention à l’ordre des lettres.

Milieu d’un segment

I

est le milieu de

[A B]

si et seulement si

\vec{A I} = \vec{I B}

Exemple à traiter :

M

est le milieu de

[P Q]

. Écris deux égalités de vecteurs correspondantes.

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Erreurs fréquentes

⚠ Ordre des lettres

\vec{A B} = \vec{C D}

donne le parallélogramme

A B D C

, et non

A B C D

⚠ Même longueur ne suffit pas

Deux vecteurs de même longueur mais de directions différentes ne sont pas égaux.

Exercice d’application

Place trois points $E$ , $F$ , $G$ non alignés et construis $H$ tel que $\vec{E F} = \vec{G H}$ .
$A B C$ est un triangle et $I$ le milieu de $[B C]$ . Construis $D$ tel que $\vec{A I} = \vec{I D}$ . Quelle est la nature de $A B D C$ ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Vecteurs égaux : même direction, même sens, même longueur.

\vec{A B} = \vec{C D}

⟺

A B D C

est un parallélogramme.