Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Vecteurs · Leçon 1

Notion de vecteur

Une direction, un sens et une longueur.

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Cours de Mathématiques : « Notion de vecteur », proposé par ndolomathndolomath

Notion de vecteur

💡 Idée principale : Un vecteur représente un déplacement. Il est défini par trois caractéristiques : une direction, un sens et une longueur. On le représente par une flèche

\vec{A B}

qui va de

A

vers

B

Ce que tu vas apprendre

Définir un vecteur $\vec{A B}$ par sa direction, son sens et sa longueur.
Représenter un vecteur par une flèche.
Reconnaître le vecteur nul et le vecteur opposé.

Pourquoi cette leçon ?

Pour décrire le déplacement d’une pirogue, la force du vent ou la trajectoire d’un ballon, une longueur ne suffit pas : il faut aussi la direction et le sens. Les vecteurs réunissent ces trois informations.

Prérequis : vérifie tes bases

Que signifie : deux droites ont la même direction ?

Mesure la longueur d’un segment

[A B]

Construis l’image d’un point par une translation sur quadrillage.

Situation problème : Les déplacements du berger

Un berger part du puits $P$ et marche 3 km vers l’est pour arriver au pâturage $Q$ . Le lendemain, il part de l’arbre $R$ , marche 3 km vers l’ouest et arrive en $S$ . Son fils, lui, fait 3 km vers l’est en partant de $R$ .
Les déplacements du berger sont-ils les mêmes les deux jours ? Celui du fils est-il le même que celui du premier jour ?

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Activité d’apprentissage

Sur un quadrillage, on place les points $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ de la situation (1 carreau pour 1 km).

Trace les flèches qui représentent les trois déplacements.
Les trois flèches ont-elles la même direction ? la même longueur ? le même sens ?
Quels déplacements sont identiques ? Lesquels sont « contraires » ?
Que se passe-t-il pour un déplacement qui part de $P$ et revient en $P$ ?

Définition

Deux points

A

B

distincts définissent le vecteur

\vec{A B}

, caractérisé par :
• sa direction : celle de la droite

(A B)

;
• son sens : de

A

vers

B

;
• sa longueur (ou norme) : la distance

A B

, notée

‖ \vec{A B} ‖

A

est l’origine et

B

l’extrémité.

Exemple à traiter : Sur un quadrillage, trace trois vecteurs de même direction, dont deux de même sens et un de sens contraire.

R2 · Vecteur nul et opposé

• Le vecteur

\vec{A A}

est le vecteur nul, noté

\vec{0}

; il n’a ni direction ni sens, sa longueur est 0.
• Le vecteur

\vec{B A}

est l’opposé de

\vec{A B}

: même direction, même longueur, sens contraire. On note

\vec{B A} = - \vec{A B}

Exemple à traiter :

\vec{A B}

a une longueur de 5 cm. Donne les caractéristiques de

\vec{B A}

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Vecteur et translation

Le vecteur

\vec{A B}

définit la translation qui transforme

A

B

: tous les points glissent dans la même direction, le même sens et de la même longueur.

Exemple à traiter : Construis l’image d’un triangle

E F G

par la translation de vecteur

\vec{A B}

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le sens

\vec{A B}

\vec{B A}

ont la même direction et la même longueur, mais pas le même sens.

⚠ Direction et sens

Deux vecteurs de même direction peuvent être de sens contraires.

Exercice d’application

Sur un quadrillage, place $A$ , $B$ , $C$ , puis trace $\vec{A B}$ , $\vec{B C}$ et l’opposé de $\vec{A C}$ .
Réponds aux questions de la situation problème en utilisant le vocabulaire des vecteurs.
$A B C D$ est un rectangle. Cite deux vecteurs de même direction et de même sens, puis deux vecteurs opposés.

À retenir

Un vecteur a une direction, un sens et une longueur.

\vec{B A} = - \vec{A B}

\vec{A A} = \vec{0}