Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Triangles · Leçon 5

Propriété directe de Pythagore

Calculer un côté d’un triangle rectangle.

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Cours de Mathématiques : « Propriété directe de Pythagore », proposé par ndolomathndolomath

Théorème de Pythagore

💡 Idée principale : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Cette égalité permet de calculer la longueur d’un côté quand on connaît les deux autres.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître l’hypoténuse d’un triangle rectangle.
Énoncer le théorème de Pythagore.
Calculer la longueur de l’hypoténuse.
Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit.

Pourquoi cette leçon ?

Quelle longueur d’échelle pour atteindre une fenêtre ? Quelle diagonale pour un écran de télévision ? Quelle distance « à vol d’oiseau » entre deux points ? Le théorème de Pythagore répond à toutes ces questions.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

6^{2}

;

15^{2}

;

\sqrt{64}

;

\sqrt{169}

Dans un triangle rectangle, quel est le côté opposé à l’angle droit ?

Calcule l’aire d’un carré de côté 7 cm.

Situation problème : L’échelle du peintre

Un peintre de Limbe doit atteindre une fenêtre située à 4,8 m de hauteur. Pour des raisons de sécurité, le pied de son échelle doit être à 1,4 m du mur.
Quelle longueur doit avoir son échelle au minimum ?

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Activité d’apprentissage

On construit un triangle $A B C$ rectangle en $A$ avec $A B = 3$ cm et $A C = 4$ cm.

Mesure $B C$ .
Calcule $A B^{2} + A C^{2}$ et $B C^{2}$ . Que remarques-tu ?
Recommence avec $A B = 5$ cm et $A C = 12$ cm.
Utilise cette relation pour répondre au peintre.

Hypoténuse

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus long des trois côtés.

Exemple à traiter :

D E F

est rectangle en

E

. Nomme son hypoténuse et les côtés de l’angle droit.

R2 · Théorème de Pythagore

Si un triangle

A B C

est rectangle en

A

, alors :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

Exemple à traiter :

A B C

est rectangle en

A

avec

A B = 9

cm et

A C = 12

cm. Calcule

B C

Calculer un côté de l’angle droit

On écrit l’égalité de Pythagore, puis on isole le carré cherché :

A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}

. On termine avec la racine carrée (valeur exacte ou arrondie).

Exemple à traiter :

R S T

est rectangle en

S

avec

R T = 13

cm et

S T = 5

cm. Calcule

R S

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Erreurs fréquentes

⚠ Mauvaise hypoténuse

Dans

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C

est toujours le côté opposé à l’angle droit.

⚠ Oublier la racine

Après avoir trouvé

B C^{2}

, il faut encore calculer

B C = \sqrt{\dots}

Exercice d’application

$K L M$ est rectangle en $K$ avec $K L = 2, 4$ m et $K M = 3, 2$ m. Calcule $L M$ .
Un écran de télévision rectangulaire mesure 80 cm de large et 45 cm de haut. Calcule sa diagonale, arrondie au centimètre.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Triangle rectangle en

A

⟹

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

(hypoténuse au carré = somme des carrés des deux autres côtés).