Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Triangles · Leçon 4

Hauteurs et orthocentre d’un triangle

Trois droites perpendiculaires aux côtés qui se coupent.

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Cours de Mathématiques : « Hauteurs et orthocentre d’un triangle », proposé par ndolomathndolomath

Hauteurs et orthocentre

💡 Idée principale : Une hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs sont concourantes en un point

H

appelé orthocentre.

Ce que tu vas apprendre

Tracer les hauteurs d’un triangle, même lorsque le pied est en dehors du côté.
Savoir que les hauteurs sont concourantes en l’orthocentre.
Utiliser les hauteurs pour calculer des aires et démontrer des perpendicularités.

Pourquoi cette leçon ?

Pour calculer l’aire d’un terrain triangulaire, il faut une hauteur. Et l’orthocentre permet parfois de démontrer qu’une droite est perpendiculaire à une autre sans aucune mesure.

Prérequis : vérifie tes bases

Trace la perpendiculaire à une droite passant par un point extérieur.

Rappelle la formule de l’aire d’un triangle.

Dans un triangle rectangle, que représentent les côtés de l’angle droit l’un pour l’autre ?

Situation problème : Le terrain triangulaire

M. Essomba veut connaître l’aire de son terrain triangulaire $A B C$ à Obala. Il mesure $B C = 40$ m. Son fils dit qu’il suffit de mesurer la distance de $A$ à la route $(B C)$ , mais le terrain a un angle obtus en $B$ et le « pied » semble tomber en dehors du terrain.
Comment mesurer cette hauteur ? Où se trouve son pied ?

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Activité d’apprentissage

On trace un triangle $A B C$ dont les trois angles sont aigus, puis un triangle $D E F$ avec un angle obtus en $E$ .

Dans $A B C$ , trace les trois hauteurs avec l’équerre. Que remarques-tu ?
Dans $D E F$ , trace la hauteur issue de $D$ . Où est son pied ? Que faut-il faire pour la tracer ?
Trace les deux autres hauteurs de $D E F$ (prolonge-les). Se coupent-elles ? Où ?
Réponds à la situation problème.

Hauteur

Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). Le point d’intersection est le pied de la hauteur.
Si le triangle a un angle obtus, deux hauteurs ont leur pied en dehors des côtés.

Exemple à traiter : Trace un triangle

K L M

avec un angle obtus en

L

, puis ses trois hauteurs.

R2 · Orthocentre

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point

H

, appelé orthocentre.
• Triangle à angles aigus :

H

est à l’intérieur.
• Triangle rectangle :

H

est le sommet de l’angle droit.
• Triangle obtus :

H

est à l’extérieur.

Exemple à traiter : Où se trouve l’orthocentre d’un triangle

A B C

rectangle en

A

? Justifie.

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Utiliser l’orthocentre

Si deux hauteurs d’un triangle se coupent en

H

, la droite joignant le troisième sommet à

H

est la troisième hauteur : elle est donc perpendiculaire au côté opposé.

Exemple à traiter : Dans un triangle

A B C

, les hauteurs issues de

A

et de

B

se coupent en

H

. Que peut-on dire des droites

(C H)

(A B)

Erreurs fréquentes

⚠ Hauteur et médiane

La hauteur est perpendiculaire au côté, elle ne passe pas forcément par son milieu.

⚠ Oublier de prolonger

Pour un triangle obtus, on prolonge le côté pour tracer la hauteur.

Exercice d’application

Construis un triangle $A B C$ avec $A B = 7$ cm, $B C = 5$ cm, $A C = 6$ cm, puis son orthocentre.
Un triangle a une aire de 36 cm² et un côté de 9 cm. Calcule la hauteur relative à ce côté.
Dans la situation problème, la hauteur issue de $A$ mesure 18 m. Calcule l’aire du terrain.

À retenir

Hauteur : droite passant par un sommet, perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs se coupent en l’orthocentre

H