Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Triangles · Leçon 3

Bissectrices et cercle inscrit dans un triangle

Le point à égale distance des trois côtés.

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Cours de Mathématiques : « Bissectrices et cercle inscrit dans un triangle », proposé par ndolomathndolomath

Bissectrices et cercle inscrit

💡 Idée principale : Les trois bissectrices des angles d’un triangle se coupent en un même point

I

. Ce point est à égale distance des trois côtés : c’est le centre du cercle inscrit, tangent aux trois côtés.

Ce que tu vas apprendre

Construire les bissectrices des angles d’un triangle.
Savoir que les bissectrices sont concourantes en $I$ .
Construire le cercle inscrit dans un triangle.

Pourquoi cette leçon ?

On veut découper la plus grande table ronde possible dans une planche triangulaire, ou placer un lampadaire à égale distance de trois routes formant un triangle. La réponse est le centre du cercle inscrit.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis la bissectrice d’un angle au compas.

Énonce la propriété caractéristique de la bissectrice (distances).

Construis le pied de la perpendiculaire à une droite passant par un point.

Situation problème : La table ronde

Un menuisier de Mbouda dispose d’une planche en forme de triangle. Il veut y découper un plateau rond le plus grand possible.
Où doit-il placer la pointe de son compas ? Comment trouver le rayon du plateau ?

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Activité d’apprentissage

On trace un triangle $A B C$ .

Construis les bissectrices des angles $\hat{A}$ et $\hat{B}$ . Elles se coupent en $I$ .
Construis la bissectrice de $\hat{C}$ . Passe-t-elle par $I$ ?
Construis les pieds $H$ , $K$ , $L$ des perpendiculaires issues de $I$ aux trois côtés. Mesure $I H$ , $I K$ , $I L$ .
Trace le cercle de centre $I$ et de rayon $I H$ . Que remarques-tu ? Réponds au menuisier.

Bissectrices concourantes

Les trois bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un point

I

.
Justification :

I

est sur la bissectrice de

\hat{A}

, donc à égale distance de

(A B)

(A C)

; sur celle de

\hat{B}

, donc à égale distance de

(A B)

(B C)

; il est donc à égale distance de

(A C)

(B C)

, donc sur la bissectrice de

\hat{C}

Exemple à traiter : Construis un triangle

D E F

avec

D E = 7

cm,

\hat{D} = 50 °

\hat{E} = 70 °

, puis ses trois bissectrices.

R2 · Cercle inscrit

Le point

I

est à égale distance des trois côtés. Le cercle de centre

I

et de rayon cette distance est tangent aux trois côtés : c’est le cercle inscrit dans le triangle.
Pour le tracer : construire

I

avec deux bissectrices, puis le pied

H

de la perpendiculaire issue de

I

à un côté ; le rayon est

I H

Exemple à traiter : Construis le cercle inscrit dans un triangle équilatéral de côté 6 cm. Que remarques-tu sur la position de

I

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Aire et rayon

r

est le rayon du cercle inscrit et

p

le périmètre du triangle, l’aire du triangle vaut

\frac{p \times r}{2}

(on la découpe en trois triangles de sommet

I

Exemple à traiter : Un triangle de périmètre 24 cm a une aire de 24 cm². Calcule le rayon de son cercle inscrit.

Erreurs fréquentes

⚠ Rayon = IA

Le rayon est la distance de

I

à un côté (perpendiculairement), pas à un sommet.

⚠ Cercle inscrit et circonscrit

Le cercle inscrit touche les côtés ; le circonscrit passe par les sommets.

Exercice d’application

Construis un triangle $A B C$ rectangle en $A$ avec $A B = 6$ cm et $A C = 8$ cm, puis son cercle inscrit.
Calcule l’aire et le périmètre de ce triangle, puis le rayon du cercle inscrit. Vérifie sur ta figure.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Les bissectrices d’un triangle se coupent en

I

, à égale distance des trois côtés : c’est le centre du cercle inscrit, tangent aux trois côtés.