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MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Triangles · Leçon 2

Médianes et centre de gravité d’un triangle

Trois médianes qui se coupent aux deux tiers.

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Cours de Mathématiques : « Médianes et centre de gravité d’un triangle », proposé par ndolomathndolomath

Médianes et centre de gravité

💡 Idée principale : Une médiane d’un triangle joint un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes sont concourantes en un point

G

, le centre de gravité, situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.

Ce que tu vas apprendre

Définir et tracer les médianes d’un triangle.
Savoir que les médianes sont concourantes en $G$ , centre de gravité.
Utiliser la position de $G$ aux deux tiers de chaque médiane.

Pourquoi cette leçon ?

Un plateau triangulaire posé sur la pointe d’un crayon tient en équilibre en un point bien précis : son centre de gravité. Les menuisiers et les ingénieurs en ont besoin pour répartir les charges.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis le milieu d’un segment.

Énonce la propriété de la droite des milieux.

Calcule les deux tiers de 12 cm et de 7,5 cm.

Situation problème : Le plateau en équilibre

Un artisan de Foumban fabrique un plateau triangulaire en bois. Il veut le suspendre par un seul fil, accroché sous le plateau, pour qu’il reste horizontal.
Où doit-il fixer le fil ? Si une médiane mesure 30 cm, à quelle distance du sommet se trouve ce point ?

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Activité d’apprentissage

On trace un triangle $A B C$ . On note $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ les milieux de $[B C]$ , $[A C]$ , $[A B]$ .

Trace les segments $[A A^{'}]$ , $[B B^{'}]$ et $[C C^{'}]$ . Que remarques-tu ?
On appelle $G$ leur point commun. Mesure $A G$ et $A A^{'}$ . Calcule $\frac{A G}{A A^{'}}$ .
Fais de même pour les deux autres médianes. Que constates-tu ?
Découpe le triangle dans du carton et essaie de le faire tenir en équilibre sur la pointe d’un crayon en $G$ . Réponds à l’artisan.

Médiane

Dans un triangle, une médiane est le segment (ou la droite) qui joint un sommet au milieu du côté opposé. Un triangle a trois médianes.

Exemple à traiter : Trace un triangle

D E F

et ses trois médianes.

R2 · Centre de gravité

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Leur point commun

G

est le centre de gravité du triangle.

G

est situé aux

\frac{2}{3}

de chaque médiane à partir du sommet :

A G = \frac{2}{3} A A^{'} G A^{'} = \frac{1}{3} A A^{'}

Exemple à traiter : Dans un triangle

A B C

, la médiane

[A A^{'}]

mesure 9 cm. Calcule

A G

G A^{'}

Construire G avec deux médianes

Pour construire

G

, il suffit de tracer deux médianes : la troisième passe forcément par leur point d’intersection.

Exemple à traiter :

A B C

est un triangle,

I

le milieu de

[B C]

G

le point de

[A I]

tel que

A G = 2 G I

. Que représente

G

? Que peut-on dire de la droite

(B G)

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Erreurs fréquentes

⚠ Médiane et médiatrice

La médiane passe par un sommet ; la médiatrice est perpendiculaire à un côté en son milieu.

⚠ Mesurer depuis le milieu

G

est aux deux tiers à partir du sommet, donc au tiers à partir du milieu.

Exercice d’application

Construis un triangle $A B C$ avec $A B = 6$ cm, $B C = 8$ cm, $A C = 7$ cm, puis son centre de gravité.
$G$ est le centre de gravité de $A B C$ et $G A^{'} = 2, 4$ cm, où $A^{'}$ est le milieu de $[B C]$ . Calcule $A A^{'}$ et $A G$ .
Dans un triangle rectangle en $A$ avec $B C = 10$ cm, la médiane issue de $A$ mesure 5 cm. Où se trouve $G$ sur cette médiane ?

À retenir

Les trois médianes se coupent au centre de gravité

G

, situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.