Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Triangles · Leçon 1

Droite des milieux d’un triangle

Relier deux milieux, c’est tracer une parallèle au troisième côté.

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Cours de Mathématiques : « Droite des milieux d’un triangle », proposé par ndolomathndolomath

Droite des milieux

💡 Idée principale : Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté, et le segment qui joint ces milieux mesure la moitié de ce côté. Réciproquement, la parallèle à un côté menée par un milieu coupe le troisième côté en son milieu.

Ce que tu vas apprendre

Énoncer et utiliser la propriété de la droite des milieux.
Calculer la longueur du segment joignant deux milieux.
Utiliser la réciproque pour démontrer qu’un point est un milieu.

Pourquoi cette leçon ?

Pour fixer une traverse au milieu d’une charpente triangulaire, ou pour vérifier qu’une barre est bien parallèle au sol, la propriété de la droite des milieux donne la réponse sans mesurer d’angles.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis le milieu d’un segment à la règle graduée et au compas.

Que dire de deux droites qui ont la même direction ?

Rappelle les propriétés des diagonales d’un parallélogramme.

Situation problème : La charpente du hangar

Pour la charpente triangulaire $A B C$ d’un hangar à Bafang, le menuisier fixe une barre $[M N]$ entre le milieu $M$ de $[A B]$ et le milieu $N$ de $[A C]$ . La poutre de base $[B C]$ mesure 7,2 m.
Quelle longueur de barre doit-il couper ? La barre sera-t-elle parallèle à la poutre de base ?

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Activité d’apprentissage

On trace un triangle $A B C$ . On place le milieu $M$ de $[A B]$ et le milieu $N$ de $[A C]$ .

Trace $(M N)$ . Semble-t-elle parallèle à $(B C)$ ? Vérifie avec l’équerre et la règle.
Mesure $M N$ et $B C$ . Que remarques-tu ?
Construis le symétrique $P$ de $M$ par rapport à $N$ . Démontre que $A M C P$ puis $M B C P$ sont des parallélogrammes.
Déduis-en le parallélisme et la longueur cherchés. Réponds au menuisier.

Propriété de la droite des milieux

Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
De plus, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté :

M N = \frac{B C}{2}

Exemple à traiter :

A B C

est un triangle avec

B C = 9

cm ;

I

J

sont les milieux de

[A B]

[A C]

. Que dire de

(I J)

(B C)

? Calcule

I J

R2 · Propriété réciproque

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Exemple à traiter :

A B C

est un triangle,

M

le milieu de

[A B]

. La parallèle à

(B C)

passant par

M

coupe

[A C]

N

. Démontre que

N

est le milieu de

[A C]

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Triangle des milieux

Les trois segments joignant les milieux des côtés d’un triangle forment un triangle dont le périmètre est la moitié de celui du grand triangle.

Exemple à traiter : Un triangle a des côtés de 6 cm, 8 cm et 10 cm. Calcule le périmètre du triangle formé par les milieux de ses côtés.

Erreurs fréquentes

⚠ Confondre milieu et point quelconque

La propriété n’est vraie que si les deux points sont les milieux des côtés.

⚠ Diviser le mauvais côté

M N

est la moitié du côté qui ne contient ni

M

N

Exercice d’application

$A B C D$ est un quadrilatère quelconque ; $I$ , $J$ , $K$ , $L$ sont les milieux de $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ , $[D A]$ . Démontre que $I J K L$ est un parallélogramme.
$E F G$ est un triangle, $P$ le milieu de $[E F]$ . La parallèle à $(F G)$ passant par $P$ coupe $[E G]$ en $Q$ . Sachant que $F G = 11$ cm, calcule $P Q$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Milieux de deux côtés ⟹ droite parallèle au troisième côté, et segment égal à sa moitié. Milieu d’un côté + parallèle à un autre côté ⟹ milieu du troisième côté.