Propriétés de la translation

Ce qu’une translation conserve.

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Cours de Mathématiques : « Propriétés de la translation », proposé par ndolomathndolomath

Propriétés des translations

💡 Idée principale : Une translation conserve les longueurs, les angles, l’alignement, le parallélisme et les aires. Elle transforme une droite en une droite parallèle et une figure en une figure superposable.

Ce que tu vas apprendre

Connaître les propriétés de conservation de la translation.
Utiliser ces propriétés pour justifier une construction.
Reconnaître une translation dans une figure.

Pourquoi cette leçon ?

Quand on déplace un meuble en le faisant glisser sans le tourner, il garde ses dimensions et sa forme. Les propriétés de la translation garantissent que l’image d’une figure lui est parfaitement superposable.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis l’image d’un point par une translation.

Rappelle les propriétés d’un parallélogramme.

Que conserve une symétrie axiale ?

Situation problème : Le carrelage de la cour

Pour carreler une cour, un ouvrier de Bertoua place un premier carreau en forme de losange, puis le reproduit en le faisant glisser plusieurs fois selon le même vecteur.
Les carreaux obtenus sont-ils tous identiques ? Leurs côtés sont-ils parallèles à ceux du premier ? Leur aire est-elle la même ?

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Activité d’apprentissage

On trace un triangle $A B C$ et son image $A^{'} B^{'} C^{'}$ par une translation de vecteur $\vec{u}$ .

Compare $A B$ et $A^{'} B^{'}$ , $B C$ et $B^{'} C^{'}$ , $A C$ et $A^{'} C^{'}$ .
Compare les angles $\hat{A B C}$ et $\hat{A^{'} B^{'} C^{'}}$ .
Les droites $(A B)$ et $(A^{'} B^{'})$ sont-elles parallèles ? Justifie avec un parallélogramme.
Place le milieu $I$ de $[A B]$ . Son image est-elle le milieu de $[A^{'} B^{'}]$ ? Réponds à la situation.

Propriétés de conservation

Une translation conserve :
• les longueurs :

M^{'} N^{'} = M N

;
• les mesures d’angles ;
• l’alignement et les milieux ;
• le parallélisme et l’orthogonalité ;
• les aires.

Exemple à traiter : Un rectangle de 5 cm sur 3 cm subit une translation. Quelles sont les dimensions et l’aire de son image ?

R2 · Image d’une droite et d’un cercle

• L’image d’une droite est une droite parallèle (ou confondue si la droite a la direction du vecteur).
• L’image d’un cercle de centre

O

et de rayon

r

est un cercle de même rayon, de centre l’image de

O

Exemple à traiter : Par une translation, l’image d’une droite

(d)

est

(d^{'})

. Que dire de

(d)

(d^{'})

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Utiliser les propriétés

Pour construire l’image d’une figure, on peut utiliser les propriétés : construire l’image d’un sommet, puis tracer les parallèles et reporter les longueurs.

Exemple à traiter : Construis l’image d’un triangle équilatéral par une translation en ne construisant qu’un seul point au compas.

Erreurs fréquentes

⚠ Confondre avec une symétrie

Une translation ne change pas l’orientation de la figure.

⚠ Image d’une droite sécante

L’image d’une droite par une translation n’est jamais sécante à la droite de départ.

Exercice d’application

$A B C D$ est un parallélogramme. Par la translation de vecteur $\vec{A B}$ , quelle est l’image de $D$ ? Justifie.
Construis l’image d’un cercle de rayon 3 cm et de l’une de ses tangentes par une translation de ton choix. L’image de la tangente est-elle tangente au cercle image ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Une translation conserve longueurs, angles, alignement, milieux, parallélisme et aires. L’image d’une droite est une droite parallèle.