Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Translations · Leçon 1

Translations et vecteurs

Faire glisser une figure sans la tourner.

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Cours de Mathématiques : « Translations et vecteurs », proposé par ndolomathndolomath

Translation

💡 Idée principale : Une translation fait glisser tous les points d’une figure dans la même direction, le même sens et de la même longueur. Elle est définie par un vecteur : l’image

M^{'}

M

vérifie

\vec{M M^{'}} = \vec{u}

Ce que tu vas apprendre

Définir la translation de vecteur $\vec{u}$ .
Construire l’image d’un point et d’une figure par une translation.
Relier translation et parallélogramme.

Pourquoi cette leçon ?

Un ascenseur qui monte, un tapis roulant à l’aéroport de Douala, un motif répété sur un pagne : chaque fois, une figure glisse sans tourner. C’est une translation.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle les caractéristiques d’un vecteur.

Construis

D

tel que

\vec{A B} = \vec{C D}

Construis le symétrique d’une figure par rapport à un point.

Situation problème : Le motif du pagne

Une couturière de Ngaoundéré reproduit un motif triangulaire sur un pagne. Elle décale le motif de 6 cm vers la droite et 2 cm vers le haut, plusieurs fois de suite, sans le tourner.
Comment construire précisément chaque nouveau motif ? Les motifs ont-ils tous la même taille et la même orientation ?

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Activité d’apprentissage

Sur un quadrillage, on trace un triangle $A B C$ et un vecteur $\vec{u}$ (6 carreaux vers la droite, 2 vers le haut).

Construis les points $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ tels que $\vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}} = \vec{C C^{'}} = \vec{u}$ .
Compare les triangles $A B C$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ (longueurs, angles, orientation).
Quelle est la nature du quadrilatère $A B B^{'} A^{'}$ ?
Construis le motif suivant et réponds à la situation.

Définition

La translation de vecteur $\vec{u}$ transforme tout point

M

en un point

M^{'}

tel que :

\vec{M M^{'}} = \vec{u}

M^{'}

est l’image de

M

par cette translation.

Exemple à traiter : Trace un vecteur

\vec{u}

et un point

M

. Construis l’image

M^{'}

M

par la translation de vecteur

\vec{u}

R2 · Translation et parallélogramme

M^{'}

N^{'}

sont les images de

M

N

par une même translation, alors

\vec{M N} = \vec{M^{'} N^{'}}

: le quadrilatère

M N N^{'} M^{'}

est un parallélogramme.

Exemple à traiter : La translation qui transforme

A

B

transforme

C

D

. Quelle figure forment

A

B

D

C

Image d’une figure

Pour construire l’image d’une figure, on construit les images de ses points caractéristiques (sommets, centre…) puis on les relie. L’image d’un segment est un segment parallèle de même longueur.

Exemple à traiter : Construis l’image d’un cercle de centre

O

et de rayon 2 cm par la translation de vecteur

\vec{O A}

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Erreurs fréquentes

⚠ Changer d’orientation

Une translation ne fait pas tourner la figure : seule la symétrie centrale « retourne ».

⚠ Vecteur mal reporté

Chaque point se déplace exactement du même vecteur : même direction, même sens, même longueur.

Exercice d’application

Construis l’image d’un carré $A B C D$ par la translation de vecteur $\vec{A C}$ .
$A B C$ est un triangle. Construis l’image de $A B C$ par la translation qui transforme $B$ en $C$ .
Réponds à la situation problème en traçant trois motifs successifs.

À retenir

Translation de vecteur

\vec{u}

\vec{M M^{'}} = \vec{u}

. Tous les points glissent de la même façon ;

M N N^{'} M^{'}

est un parallélogramme.