Cours de Mathématiques : « Repère orthogonal, repère orthonormé », proposé par ndolomathndolomath
Repères du plan
💡 Idée principale : Un repère du plan est formé de deux droites graduées qui se coupent en une origine . Si les axes sont perpendiculaires, le repère est orthogonal ; si en plus les unités sont égales, il est orthonormé.
Ce que tu vas apprendre
Définir un repère du plan, son origine, ses axes et ses unités.
Distinguer repère quelconque, orthogonal et orthonormé.
Construire un repère adapté à une situation.
Pourquoi cette leçon ?
Le plan d’une ville, la carte d’un champ ou un graphique de températures utilisent un repère. Choisir le bon repère et les bonnes unités permet de lire et de représenter clairement les informations.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Place sur une droite graduée les points d’abscisses , et .
2
Trace deux droites perpendiculaires.
3
Que signifie « unité de longueur » ?
Situation problème : Le plan du quartier
Pour se repérer dans son quartier à Bafoussam, Eric dessine deux routes principales qui se croisent à angle droit au carrefour . Il gradue chaque route en pas de 100 m, avec la même longueur sur le papier. Comment s’appelle ce type de repère ? Que se passerait-il si les routes n’étaient pas perpendiculaires ou si les graduations n’avaient pas la même longueur ?
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Activité d’apprentissage
On compare trois repères tracés sur une feuille.
Trace un repère avec deux axes qui ne sont pas perpendiculaires, puis un repère avec deux axes perpendiculaires et des unités différentes.
Trace enfin un repère avec axes perpendiculaires et cm.
Dans quel repère peut-on mesurer directement des distances avec la règle ?
Réponds à la situation problème.
R1
Repère du plan
Un repère est formé de trois points non alignés : est l’origine, est l’axe des abscisses d’unité , est l’axe des ordonnées d’unité .
Exemple à traiter : Trace un repère quelconque et nomme ses éléments.
R2 · Orthogonal et orthonormé
• Si , le repère est orthogonal. • Si de plus , le repère est orthonormé. Dans un repère orthonormé, on peut calculer des distances avec le théorème de Pythagore.
Exemple à traiter : Indique la nature de chaque repère : axes perpendiculaires avec cm et cm ; axes perpendiculaires avec cm.
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R3
Choisir les unités
On choisit des unités adaptées aux valeurs à représenter (par exemple 1 cm pour 100 m, ou 1 cm pour 10 kg). Dans un repère orthogonal, les unités des deux axes peuvent être différentes.
Exemple à traiter : Pour représenter des âges de 0 à 60 ans et des masses de 0 à 90 kg sur une feuille de 15 cm sur 15 cm, quelles unités choisirais-tu ?
Erreurs fréquentes
⚠ Graduations irrégulières
Sur un axe, les graduations doivent être régulières.
⚠ Orthonormé non vérifié
Un repère orthonormé exige axes perpendiculaires et unités égales.
Exercice d’application
Construis un repère orthonormé d’unité 1 cm, puis un repère orthogonal avec 1 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée.
Explique pourquoi on ne peut pas utiliser Pythagore dans un repère quelconque.
Réponds à la situation problème.
À retenir
Repère : origine et deux axes gradués. Orthogonal : axes perpendiculaires. Orthonormé : axes perpendiculaires et mêmes unités.