Éléments métriques de la pyramide : aires et volume

Le tiers du prisme de même base et même hauteur.

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Cours de Mathématiques : « Éléments métriques de la pyramide : aires et volume », proposé par ndolomathndolomath

Aire et volume de la pyramide

💡 Idée principale : L’aire latérale d’une pyramide est la somme des aires de ses faces triangulaires. Son volume vaut le tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur.

Ce que tu vas apprendre

Calculer l’aire latérale et l’aire totale d’une pyramide.
Calculer la hauteur d’une face (apothème) avec Pythagore.
Calculer le volume d’une pyramide.

Pourquoi cette leçon ?

Pour savoir combien de tôle il faut pour couvrir un toit en pyramide, ou quelle quantité de grain contient un silo de cette forme, on doit calculer des aires et des volumes.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule l’aire d’un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm.

Calcule le volume d’un pavé droit de 5 cm × 4 cm × 3 cm.

Énonce le théorème de Pythagore.

Situation problème : La tôle du toit

Le toit d’une case à Bafang est une pyramide régulière à base carrée de 6 m de côté et de hauteur 4 m. La tôle coûte 3 500 F le m².
Quelle surface de tôle faut-il ? Quel est le volume d’air sous le toit ?

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Activité d’apprentissage

On considère la pyramide $S A B C D$ de la situation, de centre de base $O$ . On note $I$ le milieu de $[A B]$ .

Calcule $O I$ , puis $S I$ avec le théorème de Pythagore dans le triangle $S O I$ .
Calcule l’aire de la face $S A B$ , puis l’aire des quatre faces latérales.
Calcule le prix de la tôle.
Calcule le volume de la pyramide avec la formule $\frac{1}{3} \times aire de base \times hauteur$ .

Aires

• L’aire latérale est la somme des aires des faces latérales.
• L’aire totale est l’aire latérale plus l’aire de la base.
Pour une pyramide régulière, la hauteur d’une face issue de

S

s’appelle l’apothème.

Exemple à traiter : Une pyramide régulière à base carrée de côté 10 cm a un apothème de 13 cm. Calcule son aire latérale et son aire totale.

R2 · Volume

Le volume d’une pyramide de base d’aire

B

et de hauteur

h

est :

V = \frac{1}{3} \times B \times h

C’est le tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur.

Exemple à traiter : Calcule le volume d’une pyramide à base rectangulaire de 8 cm sur 5 cm et de hauteur 9 cm.

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Utiliser Pythagore

Pour trouver la hauteur ou l’apothème, on repère un triangle rectangle (par exemple

S O I

, rectangle en

O

) et on applique le théorème de Pythagore.

Exemple à traiter : Une pyramide régulière à base carrée de côté 12 cm a un apothème de 10 cm. Calcule sa hauteur puis son volume.

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le tiers

Le volume d’une pyramide n’est pas

B \times h

mais le tiers.

⚠ Hauteur et apothème

La hauteur de la pyramide n’est pas la hauteur d’une face.

Exercice d’application

Une pyramide à base carrée de côté 5 cm a une hauteur de 6 cm. Calcule son volume.
Calcule l’apothème et l’aire latérale de cette pyramide (valeurs arrondies au dixième).
Réponds à la situation problème.

À retenir

Aire latérale = somme des aires des faces. Volume =

\frac{1}{3} \times aire de base \times hauteur

. Pythagore donne la hauteur ou l’apothème.