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MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Plans et droites de l’espace · Leçon 2

Positions relatives de droites et de plans

Sécantes, parallèles ou non coplanaires.

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Cours de Mathématiques : « Positions relatives de droites et de plans », proposé par ndolomathndolomath

Positions dans l’espace

💡 Idée principale : Dans l’espace, deux droites peuvent être sécantes, parallèles ou non coplanaires (elles ne sont dans aucun plan commun). Une droite et un plan, ou deux plans, peuvent être sécants ou parallèles.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître la position relative de deux droites de l’espace.
Reconnaître la position relative d’une droite et d’un plan.
Reconnaître la position relative de deux plans.

Pourquoi cette leçon ?

Dans une salle de classe, les arêtes du plafond et du sol, les murs et le tableau illustrent toutes les positions possibles. Les reconnaître aide à construire, à mesurer et à représenter les objets.

Prérequis : vérifie tes bases

Cite les règles d’incidence dans l’espace.

Dans le plan, quelles sont les positions possibles de deux droites ?

Représente un cube en perspective cavalière.

Situation problème : La salle de classe

Dans une salle de classe en forme de pavé droit, Junior observe l’arête entre le sol et le mur du tableau, l’arête verticale d’un coin du fond, et le plafond.
Ces deux arêtes se coupent-elles ? Sont-elles parallèles ? Quelle est la position du plafond par rapport au sol ? par rapport au mur du tableau ?

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Activité d’apprentissage

On considère un pavé droit $A B C D E F G H$ .

Les droites $(A B)$ et $(E F)$ sont-elles parallèles ? Et $(A B)$ et $(B F)$ ?
Les droites $(A B)$ et $(C G)$ se coupent-elles ? Sont-elles parallèles ? Peut-on trouver un plan qui les contient toutes les deux ?
Quelle est la position de la droite $(E F)$ par rapport au plan $(A B C)$ ?
Quelle est la position des plans $(A B C)$ et $(E F G)$ ? Et $(A B C)$ et $(A B F)$ ? Réponds à Junior.

Deux droites

Deux droites de l’espace sont :
• coplanaires : elles sont alors sécantes ou parallèles ;
• non coplanaires : elles ne sont ni sécantes ni parallèles (aucun plan ne les contient).

Exemple à traiter : Dans le pavé

A B C D E F G H

, donne la position des droites

(A D)

(F G)

(A E)

(E H)

(B C)

(E F)

R2 · Droite et plan

Une droite et un plan peuvent être :
• sécants (un seul point commun) ;
• parallèles : la droite est contenue dans le plan ou n’a aucun point commun avec lui.
Si une droite est parallèle à une droite d’un plan, elle est parallèle à ce plan.

Exemple à traiter : Donne la position de la droite

(E G)

par rapport au plan

(A B C)

, puis de

(A G)

par rapport à

(A B C)

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Deux plans

Deux plans peuvent être :
• sécants : ils se coupent suivant une droite ;
• parallèles : confondus ou sans point commun.

Exemple à traiter : Donne l’intersection des plans

(A B F)

(B C G)

dans le pavé droit.

Erreurs fréquentes

⚠ Non sécantes = parallèles ?

Dans l’espace, deux droites qui ne se coupent pas peuvent être non coplanaires.

⚠ Se fier au dessin

Sur la perspective, deux droites non coplanaires peuvent sembler se couper.

Exercice d’application

Dans le cube $A B C D E F G H$ , cite deux droites non coplanaires et deux droites parallèles non situées sur une même face.
Quelle est l’intersection des plans $(A C G)$ et $(B D H)$ ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Deux droites de l’espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires. Droite et plan : sécants ou parallèles. Deux plans : sécants (suivant une droite) ou parallèles.