Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Nombres rationnels · Leçon 6

Puissance entière d’un nombre rationnel

Des exposants positifs et négatifs pour écrire vite.

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Cours de Mathématiques : « Puissance entière d’un nombre rationnel », proposé par ndolomathndolomath

Puissances de rationnels

💡 Idée principale :

a^{n}

est le produit de

n

facteurs égaux à

a

. On définit aussi

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

, et l’on utilise des règles simples pour calculer avec les exposants.

Ce que tu vas apprendre

Calculer la puissance d’un rationnel avec un exposant entier positif.
Interpréter un exposant nul ou négatif.
Appliquer les règles de calcul sur les puissances de même base.
Utiliser les puissances de 10.

Pourquoi cette leçon ?

Un grain de riz doublé sur chaque case d’un damier donne un nombre gigantesque de grains. Les puissances permettent d’écrire et de calculer de tels nombres sans aligner des dizaines de chiffres.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

3^{4}

;

(- 2)^{3}

;

10^{5}

Calcule

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}

Écris

5 \times 5 \times 5 \times 5

sous forme de puissance.

Situation problème : Le damier de la légende

Un sage demanda au roi un grain de riz sur la première case d’un damier, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case. Un autre conteur raconte que sur une autre table, chaque case recevait la moitié de la précédente, en partant de 1 kg.
Comment écrire simplement le nombre de grains sur la 10e case ? Et la masse sur la 5e case de l’autre table ?

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Activité d’apprentissage

On étudie les puissances de 2 et de $\frac{1}{2}$ .

Écris le nombre de grains des cinq premières cases sous forme de puissances de 2.
Quelle puissance de 2 correspond à la 10e case ? Calcule-la.
Sur l’autre table, écris la masse des cinq premières cases sous forme de puissances de $\frac{1}{2}$ .
Compare ${(\frac{1}{2})}^{3}$ et $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}}$ .

Définitions

Pour tout rationnel

a

et tout entier

n \geq 1

a^{n} = a \times a \times \dots \times a

(

n

facteurs).
Pour

a \neq 0

a^{1} = a

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Exemple à traiter : Calcule :

{(- \frac{2}{3})}^{3}

;

{(\frac{3}{5})}^{0}

;

4^{- 2}

;

(- 3)^{- 3}

R2 · Signe d’une puissance

a > 0

a^{n} > 0

. Si

a < 0

a^{n}

est positif quand

n

est pair et négatif quand

n

est impair.

Exemple à traiter : Donne le signe de

(- 5)^{12}

(- 5)^{7}

- 5^{4}

Règles de calcul

Pour

a \neq 0

m

n

entiers relatifs :

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{m n} {(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

Exemple à traiter : Écris sous forme d’une seule puissance :

3^{5} \times 3^{- 2}

;

\frac{7^{4}}{7^{6}}

;

(2^{- 3})^{2}

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Erreurs fréquentes

⚠ Multiplier base et exposant

2^{3} = 8

et non

2 \times 3 = 6

⚠ Exposant négatif et signe

2^{- 3} = \frac{1}{8}

est positif.

Exercice d’application

Calcule : $A = {(\frac{- 3}{2})}^{4}$ ; $B = {(\frac{2}{5})}^{- 2}$ .
Simplifie $C = \frac{5^{3} \times 5^{- 7}}{5^{- 2}}$ et donne le résultat sous forme de fraction.
Écris $0,000 07$ et $4 500 000$ sous la forme $a \times 10^{n}$ avec $1 \leq a < 10$ .

À retenir

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

a^{0} = 1

. Même base : on additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient.