Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Nombres rationnels · Leçon 5

Comparaison des nombres rationnels

Ranger des fractions positives et négatives.

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Cours de Mathématiques : « Comparaison des nombres rationnels », proposé par ndolomathndolomath

Comparer des rationnels

💡 Idée principale : Pour comparer deux rationnels, on les écrit avec le même dénominateur positif et on compare les numérateurs. Un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif, et entre deux négatifs, le plus petit est celui qui est le plus loin de zéro.

Ce que tu vas apprendre

Comparer deux rationnels de même dénominateur.
Comparer deux rationnels en les réduisant au même dénominateur.
Comparer des rationnels de signes différents.
Ranger une liste de rationnels et les placer sur une droite graduée.

Pourquoi cette leçon ?

Quelle classe a la meilleure proportion de réussite :

\frac{18}{25}

\frac{29}{40}

? Quel compte est le plus déficitaire :

- \frac{3}{4}

- \frac{5}{6}

du capital ? Il faut comparer des fractions.

Prérequis : vérifie tes bases

Compare

- 7

- 3

;

- 2

1

Réduis au même dénominateur

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

Place

- \frac{1}{2}

\frac{3}{4}

- \frac{5}{4}

sur une droite graduée.

Situation problème : Les résultats des deux classes

Au BEPC blanc, $\frac{18}{25}$ des élèves de la 4e A et $\frac{29}{40}$ des élèves de la 4e B ont eu la moyenne. Le surveillant dit que la 4e B a fait mieux parce que 29 est plus grand que 18.
A-t-il raison ? Quelle classe a la meilleure proportion de réussite ?

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Activité d’apprentissage

On compare $\frac{18}{25}$ et $\frac{29}{40}$ .

Pourquoi ne peut-on pas comparer directement les numérateurs ?
Réduis les deux fractions au même dénominateur et compare-les.
Compare de même $- \frac{3}{4}$ et $- \frac{5}{6}$ . Lequel est le plus petit ?
Réponds à la question de la situation problème.

Même dénominateur positif

Pour

b > 0

\frac{a}{b} < \frac{c}{b}

si et seulement si

a < c

Exemple à traiter : Compare :

\frac{- 7}{9}

\frac{- 4}{9}

;

\frac{3}{- 5}

\frac{- 2}{5}

R2 · Dénominateurs différents

On écrit les deux rationnels avec le même dénominateur positif, puis on compare les numérateurs. On peut aussi utiliser les produits en croix pour des dénominateurs positifs :

\frac{a}{b} < \frac{c}{d} ⟺ a d < b c

Exemple à traiter : Compare

\frac{5}{8}

\frac{7}{12}

, puis

- \frac{2}{3}

- \frac{7}{10}

Signes différents et règle des opposés

• Tout rationnel négatif est inférieur à tout rationnel positif.
• Si

x < y

, alors

- x > - y

: deux nombres et leurs opposés sont rangés dans l’ordre inverse.

Exemple à traiter : Range dans l’ordre croissant :

\frac{1}{2}

;

- \frac{3}{4}

;

- \frac{2}{3}

;

\frac{5}{12}

;

0

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Erreurs fréquentes

⚠ Comparer les numérateurs seuls

Il faut le même dénominateur avant de comparer les numérateurs.

⚠ Ordre des négatifs

- \frac{5}{6} < - \frac{3}{4}

car

\frac{5}{6} > \frac{3}{4}

Exercice d’application

Compare $\frac{11}{15}$ et $\frac{13}{18}$ .
Range dans l’ordre décroissant : $- \frac{5}{6}$ ; $\frac{2}{9}$ ; $- \frac{7}{9}$ ; $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Même dénominateur positif : on compare les numérateurs. Un négatif est plus petit qu’un positif. Entre deux négatifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro.