Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Nombres rationnels · Leçon 4

Multiplication et division des nombres rationnels

Multiplier en ligne, diviser par l’inverse.

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Cours de Mathématiques : « Multiplication et division des nombres rationnels », proposé par ndolomathndolomath

Produit et quotient de rationnels

💡 Idée principale : On multiplie deux rationnels en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en appliquant la règle des signes. Diviser par un rationnel non nul revient à multiplier par son inverse.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer le signe d’un produit ou d’un quotient.
Multiplier deux rationnels en simplifiant avant.
Diviser deux rationnels.
Calculer une fraction d’une quantité.

Pourquoi cette leçon ?

« Les trois quarts de la moitié du champ », « combien de bouteilles de

\frac{3}{4}

de litre avec 9 litres » : produits et quotients de rationnels sont partout dans les partages et les mesures.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

(- 3) \times (- 5)

;

4 \times (- 6)

;

(- 20) \div 4

Donne l’inverse de

- \frac{3}{7}

Simplifie

\frac{15}{35}

Situation problème : Les bouteilles de jus

Mama Ngono prépare 9 litres de jus de bissap. Elle en vend les $\frac{2}{3}$ au marché et met le reste dans des bouteilles de $\frac{3}{4}$ de litre.
Combien de litres vend-elle ? Combien de bouteilles remplit-elle ?

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Activité d’apprentissage

On utilise les données de la situation.

Calcule $\frac{2}{3} \times 9$ . Que représente ce nombre ?
Quelle quantité de jus reste-t-il ?
Combien de fois $\frac{3}{4}$ de litre est-il contenu dans cette quantité ? Écris le calcul comme une division.
Vérifie que $3 \div \frac{3}{4}$ est égal à $3 \times \frac{4}{3}$ .

Signe

Un produit (ou un quotient) de deux nombres de même signe est positif ; de signes contraires, il est négatif. Pour plusieurs facteurs : positif si le nombre de facteurs négatifs est pair.

Exemple à traiter : Donne le signe de :

(- \frac{2}{3}) \times \frac{5}{7}

;

(- 1) \times (- \frac{3}{4}) \times (- 2)

R2 · Produit

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

On simplifie avant de multiplier en décomposant les numérateurs et dénominateurs.

Exemple à traiter : Calcule et simplifie :

\frac{- 4}{9} \times \frac{15}{8}

;

\frac{14}{- 25} \times \frac{- 10}{21}

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Quotient

Diviser par un rationnel non nul, c’est multiplier par son inverse :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Exemple à traiter : Calcule :

\frac{5}{6} \div \frac{- 10}{9}

;

- \frac{8}{15} \div 4

;

\frac{\frac{2}{3}}{\frac{- 4}{9}}

Erreurs fréquentes

⚠ Inverser le mauvais nombre

Dans

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}

, c’est le diviseur

\frac{c}{d}

qu’on inverse.

⚠ Dénominateur commun inutile

Pour multiplier, on ne réduit pas au même dénominateur.

Exercice d’application

Calcule : $A = \frac{- 12}{35} \times \frac{- 14}{9}$ ; $B = \frac{- 7}{8} \div \frac{21}{- 4}$ .
Calcule $C = (\frac{1}{2} - \frac{5}{6}) \times \frac{- 9}{4}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Produit : numérateurs ensemble, dénominateurs ensemble, signe par la règle des signes. Quotient : multiplier par l’inverse du diviseur.