Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Nombres rationnels · Leçon 1

Caractérisation des nombres rationnels

Les nombres qui s’écrivent comme quotient de deux entiers.

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Cours de Mathématiques : « Caractérisation des nombres rationnels », proposé par ndolomathndolomath

Nombres rationnels

💡 Idée principale : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire

\frac{a}{b}

, avec

a

entier relatif et

b

entier relatif non nul. Un même rationnel a une infinité d’écritures fractionnaires égales.

Ce que tu vas apprendre

Définir un nombre rationnel et l’ensemble $Q$ .
Reconnaître des écritures fractionnaires égales.
Écrire un rationnel avec un dénominateur positif.
Situer $N$ , $Z$ , $D$ et $Q$ les uns par rapport aux autres.

Pourquoi cette leçon ?

Partager 2 gâteaux entre 3 personnes, exprimer une dette de 3 F partagée entre 4 personnes : les entiers ne suffisent plus. Les rationnels donnent un résultat exact à toutes ces divisions.

Prérequis : vérifie tes bases

Simplifie

\frac{12}{16}

\frac{45}{30}

Calcule

(- 12) \div 4

15 \div (- 3)

Donne l’écriture décimale de

\frac{3}{4}

et de

\frac{7}{5}

Situation problème : Le partage de la dette

Quatre amis doivent rembourser ensemble 3 000 F. Ils notent la dette de chacun : Paul écrit $\frac{- 3 000}{4}$ , Ali écrit $- \frac{3 000}{4}$ , Rita écrit $\frac{3 000}{- 4}$ et Joël écrit $- 750$ .
Ont-ils tous écrit le même nombre ?

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Activité d’apprentissage

On compare différentes écritures d’un même quotient.

Calcule $(- 3 000) \div 4$ , $3 000 \div (- 4)$ et $- (3 000 \div 4)$ . Que remarques-tu ?
Calcule $\frac{- 6}{- 8}$ et $\frac{3}{4}$ sous forme décimale. Que remarques-tu ?
Trouve trois autres fractions égales à $\frac{3}{4}$ , dont une avec un dénominateur négatif.
Réponds à la question de la situation problème.

Définition

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire

\frac{a}{b}

, où

a \in Z

b \in Z

b \neq 0

. L’ensemble des nombres rationnels se note

Q

Exemple à traiter : Montre que

- 5

0, 35

1, 2

sont des rationnels en les écrivant sous la forme

\frac{a}{b}

R2 · Règles des signes

Pour

b \neq 0

\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b} \frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

On écrit toujours un rationnel avec un dénominateur positif.

Exemple à traiter : Écris avec un dénominateur positif :

\frac{7}{- 9}

;

\frac{- 4}{- 11}

;

- \frac{- 2}{5}

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Écritures égales

On ne change pas un rationnel en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même entier non nul :

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}

.
Deux écritures

\frac{a}{b}

\frac{c}{d}

sont égales si et seulement si

a d = b c

Exemple à traiter : Les écritures

\frac{- 15}{21}

\frac{10}{- 14}

représentent-elles le même rationnel ?

Les ensembles de nombres

N \subset Z \subset D \subset Q

Tout entier et tout décimal est un rationnel ; mais

\frac{1}{3}

est rationnel sans être décimal.

Exemple à traiter : Complète par

\in

\notin

- 3 \dots N

;

0, 5 \dots Q

;

\frac{2}{3} \dots D

;

- \frac{8}{4} \dots Z

Erreurs fréquentes

⚠ Signe en double

\frac{- a}{- b}

est positif : les deux signes « − » se compensent.

⚠ Simplifier par addition

On multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre, jamais on n’ajoute.

Exercice d’application

Écris trois écritures fractionnaires différentes du nombre $- \frac{2}{7}$ .
Rends irréductibles et écris avec un dénominateur positif : $\frac{- 18}{- 24}$ ; $\frac{35}{- 49}$ .
Classe les nombres $4$ ; $- 6$ ; $\frac{3}{8}$ ; $\frac{5}{6}$ ; $- 2, 7$ dans les plus petits ensembles qui les contiennent.

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À retenir

Rationnel =

\frac{a}{b}

avec

a

b

entiers,

b \neq 0

. Un seul signe « − » rend le rationnel négatif.

N \subset Z \subset D \subset Q