Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Distances · Leçon 3

Caractérisation de la bissectrice d’un angle

Les points à égale distance des deux côtés d’un angle.

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Cours de Mathématiques : « Caractérisation de la bissectrice d’un angle », proposé par ndolomathndolomath

Bissectrice et distances

💡 Idée principale : La bissectrice d’un angle partage cet angle en deux angles égaux. Elle est aussi l’ensemble des points situés à égale distance des deux côtés de l’angle.

Ce que tu vas apprendre

Construire la bissectrice d’un angle au compas.
Connaître la propriété : un point de la bissectrice est équidistant des côtés.
Utiliser la réciproque pour démontrer qu’un point est sur une bissectrice.

Pourquoi cette leçon ?

Un éleveur veut placer un abreuvoir à égale distance de deux clôtures qui se rejoignent en coin. Où le mettre ? Sur la bissectrice de l’angle formé par les clôtures.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis la bissectrice d’un angle de 70° au rapporteur.

Mesure la distance d’un point à une droite.

Rappelle les cas d’égalité des triangles rectangles.

Situation problème : L’abreuvoir de M. Hamadou

Dans le ranch de M. Hamadou à Meiganga, deux clôtures rectilignes $[O x)$ et $[O y)$ se rejoignent en un coin $O$ . Il veut placer un abreuvoir à 10 m de chaque clôture, pour que les bêtes y accèdent facilement des deux côtés.
Où doit-il le placer ? Y a-t-il une seule position possible ?

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Activité d’apprentissage

On trace un angle $\hat{x O y}$ et sa bissectrice $[O z)$ . On place un point $M$ sur $[O z)$ .

Construis les pieds $H$ et $K$ des perpendiculaires à $[O x)$ et $[O y)$ passant par $M$ .
Mesure $M H$ et $M K$ . Que remarques-tu ? Recommence avec un autre point de la bissectrice.
Démontre que les triangles $O H M$ et $O K M$ sont superposables.
Réponds à la question de M. Hamadou.

Bissectrice d’un angle

La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue du sommet qui partage l’angle en deux angles de même mesure.
Construction au compas : un arc de centre

O

coupe les côtés en

A

B

; deux arcs de même rayon de centres

A

B

se coupent en

C

;

[O C)

est la bissectrice.

Exemple à traiter : Trace un angle de 110° et construis sa bissectrice au compas.

R2 · Propriété directe

Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est à égale distance des deux côtés de cet angle.

Exemple à traiter :

M

est sur la bissectrice de

\hat{x O y}

et la distance de

M

[O x)

est 3 cm. Quelle est la distance de

M

[O y)

Propriété réciproque

Si un point situé à l’intérieur d’un angle est à égale distance des deux côtés de cet angle, alors il est sur la bissectrice de cet angle.

Exemple à traiter : Un point

P

intérieur à l’angle

\hat{x O y}

est à 4 cm de

[O x)

et à 4 cm de

[O y)

. Que peut-on dire de

P

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Erreurs fréquentes

⚠ Distance mal mesurée

La distance d’un point à un côté se mesure perpendiculairement à ce côté.

⚠ Bissectrice et médiatrice

La médiatrice concerne un segment ; la bissectrice concerne un angle.

Exercice d’application

Construis un angle $\hat{x O y}$ de 60°, puis le point $M$ intérieur situé à 2 cm de chaque côté.
$A B C$ est un triangle. Les bissectrices de $\hat{A}$ et $\hat{B}$ se coupent en $I$ . Démontre que $I$ est à égale distance des trois côtés du triangle.
Réponds à la situation problème par une construction à l’échelle $\frac{1}{500}$ .

À retenir

Sur la bissectrice d’un angle ⟺ à égale distance des deux côtés (pour un point intérieur à l’angle).