Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Distances · Leçon 2

Distance de deux droites parallèles

Un écart constant entre deux droites qui ne se rencontrent jamais.

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Cours de Mathématiques : « Distance de deux droites parallèles », proposé par ndolomathndolomath

Distance de deux parallèles

💡 Idée principale : Deux droites parallèles restent toujours à la même distance l’une de l’autre. Cette distance se mesure sur n’importe quelle perpendiculaire commune aux deux droites.

Ce que tu vas apprendre

Savoir qu’une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre.
Définir et mesurer la distance de deux droites parallèles.
Construire une droite parallèle à une distance donnée.

Pourquoi cette leçon ?

Les deux bords d’une route, les rails d’une voie ferrée, les lignes d’un cahier : ces droites parallèles gardent toujours le même écart. Cet écart est la distance entre les deux droites.

Prérequis : vérifie tes bases

Trace la parallèle à une droite passant par un point, avec la règle et l’équerre.

Mesure la distance d’un point à une droite.

Qu’est-ce qu’un rectangle ?

Situation problème : La route bitumée

Une route à Kribi a deux bords rectilignes et parallèles. Le cantonnier mesure la largeur à trois endroits différents en tendant une corde perpendiculairement aux bords : il trouve chaque fois 7,5 m.
Est-ce un hasard ? Pour peindre une ligne blanche au milieu de la route, où doit-il la tracer ?

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Activité d’apprentissage

On trace deux droites parallèles $(d)$ et $(d^{'})$ . On place trois points $A$ , $B$ , $C$ sur $(d)$ .

Trace les perpendiculaires à $(d)$ en $A$ , $B$ et $C$ . Coupent-elles $(d^{'})$ ? Sont-elles perpendiculaires à $(d^{'})$ ?
Elles coupent $(d^{'})$ en $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ . Mesure $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ . Que remarques-tu ?
Quelle est la nature du quadrilatère $A A^{'} B^{'} B$ ? Justifie le résultat de la question 2.
Réponds aux questions du cantonnier.

Perpendiculaire commune

Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. On l’appelle une perpendiculaire commune.

Exemple à traiter :

(d) ∥ (d^{'})

(Δ) ⊥ (d)

. Que peut-on dire de

(Δ)

(d^{'})

? Justifie.

R2 · Distance de deux droites parallèles

Soient

(d)

(d^{'})

deux droites parallèles. Si une perpendiculaire commune coupe

(d)

A

(d^{'})

A^{'}

, la longueur

A A^{'}

ne dépend pas de la perpendiculaire choisie : c’est la distance des deux droites.
C’est aussi la distance de n’importe quel point de

(d)

à la droite

(d^{'})

Exemple à traiter : Deux droites parallèles sont à 4 cm l’une de l’autre. Un point

M

est sur la première. Quelle est la distance de

M

à la seconde ?

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Construire une parallèle à une distance donnée

Pour tracer les droites parallèles à

(d)

situées à 3 cm : on trace une perpendiculaire à

(d)

, on reporte 3 cm de part et d’autre, puis on trace les parallèles à

(d)

par ces points. Il y a deux solutions.

Exemple à traiter : Trace une droite

(d)

, puis toutes les droites parallèles à

(d)

situées à 2,5 cm de

(d)

Erreurs fréquentes

⚠ Mesurer en biais

La distance se mesure sur une perpendiculaire commune, pas sur un segment oblique.

⚠ Oublier la 2e solution

Il y a deux droites parallèles à

(d)

à une distance donnée, une de chaque côté.

Exercice d’application

$A B C D$ est un rectangle de 6 cm sur 4 cm. Quelle est la distance des droites $(A B)$ et $(C D)$ ? Et de $(A D)$ et $(B C)$ ?
Un parallélogramme a une aire de 30 cm² et un côté de 6 cm. Quelle est la distance entre ce côté et le côté opposé ?
Dans la situation problème, explique comment construire la ligne blanche au milieu de la route.

À retenir

Une perpendiculaire à une droite est perpendiculaire à toutes ses parallèles. La distance de deux parallèles se mesure sur une perpendiculaire commune ; elle est la même partout.