Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Distances · Leçon 1

Distance d’un point à une droite

Le plus court chemin vers une droite est perpendiculaire.

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Cours de Mathématiques : « Distance d’un point à une droite », proposé par ndolomathndolomath

Distance point-droite

💡 Idée principale : La distance d’un point

A

à une droite

(d)

est la longueur du plus court segment qui joint

A

à un point de

(d)

. Ce segment est perpendiculaire à

(d)

: son extrémité est le pied de la perpendiculaire.

Ce que tu vas apprendre

Construire le pied de la perpendiculaire à une droite passant par un point.
Définir la distance d’un point à une droite.
Justifier que c’est la plus courte distance à l’aide de Pythagore.

Pourquoi cette leçon ?

Pour relier une maison à une route droite avec le chemin le plus court, ou poser un tuyau le plus économique possible jusqu’à une canalisation, il faut savoir où aboutir : au pied de la perpendiculaire.

Prérequis : vérifie tes bases

Trace la perpendiculaire à une droite passant par un point donné, avec l’équerre.

Dans un triangle rectangle, quel est le plus grand côté ?

Rappelle la définition de la distance entre deux points.

Situation problème : Le raccordement à l’eau

La maison de M. Tabi est à 40 m d’une canalisation rectiligne longeant la route. Le plombier propose deux tracés : l’un perpendiculaire à la canalisation, l’autre en biais, plus « pratique », qui mesure 50 m. Le mètre de tuyau coûte 1 500 F.
Quel tracé est le plus économique ? Combien économise-t-on ?

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Activité d’apprentissage

On trace une droite $(d)$ et un point $A$ extérieur à $(d)$ . On note $H$ le pied de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$ .

Place trois points $M$ , $N$ , $P$ sur $(d)$ et mesure $A M$ , $A N$ , $A P$ et $A H$ . Quelle est la plus petite longueur ?
Pour un point $M$ de $(d)$ distinct de $H$ , quelle est la nature du triangle $A H M$ ?
En utilisant le théorème de Pythagore, compare $A M$ et $A H$ .
Réponds à la question de la situation problème.

Pied de la perpendiculaire

Soit

(d)

une droite et

A

un point. La perpendiculaire à

(d)

passant par

A

coupe

(d)

en un point

H

, appelé pied de la perpendiculaire (ou projeté orthogonal de

A

sur

(d)

Exemple à traiter : Trace une droite

(d)

et trois points

A

B

C

; construis le pied de la perpendiculaire à

(d)

issue de chaque point.

R2 · Distance d’un point à une droite

La distance du point $A$ à la droite $(d)$ est la longueur

A H

, où

H

est le pied de la perpendiculaire à

(d)

issue de

A

.
C’est la plus petite distance entre

A

et un point de

(d)

: pour tout

M

(d)

A M \geq A H

.
Si

A \in (d)

, cette distance est nulle.

Exemple à traiter :

A B C

est rectangle en

A

avec

A B = 6

cm et

A C = 8

cm. Quelle est la distance de

B

à la droite

(A C)

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Hauteur et distance

Dans un triangle

A B C

, la longueur de la hauteur issue de

A

est la distance de

A

à la droite

(B C)

. On peut la calculer avec l’aire :

aire = \frac{B C \times A H}{2}

Exemple à traiter : Un triangle a une aire de 24 cm² et un côté

[B C]

de 8 cm. Calcule la distance de

A

à la droite

(B C)

Erreurs fréquentes

⚠ Prendre un segment quelconque

La distance se mesure toujours perpendiculairement à la droite.

⚠ Confondre H et un point quelconque

Seul le pied de la perpendiculaire donne la plus courte distance.

Exercice d’application

Trace une droite $(d)$ et un point $A$ tel que la distance de $A$ à $(d)$ soit de 3 cm.
$E F G$ est rectangle en $E$ avec $E F = 5$ , $E G = 12$ et $F G = 13$ . Calcule l’aire de $E F G$ , puis la distance de $E$ à la droite $(F G)$ .
Dans la situation problème, à quelle distance du pied de la perpendiculaire le tracé en biais rejoint-il la canalisation ?

À retenir

La distance d’un point

A

à une droite est

A H

, où

H

est le pied de la perpendiculaire issue de

A

. C’est la plus courte distance de

A

à un point de la droite.