Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Cône de révolution · Leçon 2

Éléments métriques du cône : aires et volume

Le tiers du cylindre de même base et même hauteur.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Éléments métriques du cône : aires et volume », proposé par ndolomathndolomath

Aire et volume du cône

💡 Idée principale : L’aire latérale d’un cône de révolution vaut

π r g

et son volume le tiers de celui du cylindre de même base et même hauteur :

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Ce que tu vas apprendre

Calculer l’aire latérale et l’aire totale d’un cône.
Calculer le volume d’un cône.
Utiliser Pythagore pour trouver une dimension manquante.

Pourquoi cette leçon ?

Quelle quantité de tissu pour un chapeau conique ? Combien de jus contient un cornet ? Quel volume de sable forme un tas conique sur un chantier ? On répond avec l’aire et le volume du cône.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule l’aire d’un disque de rayon 5 cm.

Calcule le volume d’un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm.

Calcule la génératrice d’un cône de rayon 6 cm et de hauteur 8 cm.

Situation problème : Le tas de sable

Sur un chantier de Bertoua, le sable livré forme un tas conique de 2 m de rayon et de 1,5 m de hauteur. Un camion-benne transporte 5 m³.
Ce tas représente-t-il plus ou moins qu’un camion de sable ? Quelle bâche faut-il pour le couvrir entièrement (sans le sol) ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Éléments métriques du cône : aires et volume », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On considère le tas de sable de la situation.

Calcule la génératrice $g$ du cône.
Le patron de la surface latérale est un secteur de rayon $g$ et d’arc $2 π r$ . Quelle fraction du disque de rayon $g$ représente-t-il ? Déduis-en son aire.
Calcule le volume d’un cylindre de même base et même hauteur, puis prends-en le tiers.
Réponds aux questions de la situation.

Aires

• Aire latérale :

A_{ℓ} = π r g

.
• Aire de la base :

π r^{2}

.
• Aire totale :

π r g + π r^{2}

Exemple à traiter : Calcule l’aire latérale et l’aire totale d’un cône de rayon 5 cm et de génératrice 13 cm.

R2 · Volume

Le volume d’un cône de révolution de rayon

r

et de hauteur

h

est :

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Exemple à traiter : Calcule le volume d’un cône de rayon 6 cm et de hauteur 10 cm (valeur exacte, puis arrondie au cm³).

Unités de volume

1 dm³ = 1 L = 1 000 cm³ ; 1 m³ = 1 000 dm³. On convertit les longueurs dans la même unité avant de calculer.

Exemple à traiter : Un cornet conique de 4 cm de rayon et 12 cm de hauteur peut-il contenir 25 cL de jus ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Éléments métriques du cône : aires et volume », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le tiers

Le volume du cône vaut le tiers de

π r^{2} h

⚠ Génératrice et hauteur

L’aire latérale utilise la génératrice

g

; le volume utilise la hauteur

h

Exercice d’application

Un cône a un rayon de 9 cm et une génératrice de 15 cm. Calcule sa hauteur, son aire latérale et son volume.
Un entonnoir conique a un diamètre de 20 cm et une hauteur de 15 cm. Quelle est sa contenance en litres ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Aire latérale =

π r g

. Volume =

\frac{1}{3} π r^{2} h

. On utilise

g^{2} = h^{2} + r^{2}

pour trouver une dimension manquante.