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MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Cône de révolution · Leçon 1

Description et patron d’un cône de révolution

Un disque, un sommet et une surface latérale enroulée.

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Cours de Mathématiques : « Description et patron d’un cône de révolution », proposé par ndolomathndolomath

Cône de révolution

💡 Idée principale : Un cône de révolution est engendré par un triangle rectangle qui tourne autour d’un côté de l’angle droit. Il a une base en forme de disque, un sommet, une hauteur et des génératrices. Son patron est formé d’un disque et d’un secteur circulaire.

Ce que tu vas apprendre

Décrire un cône de révolution (base, sommet, hauteur, génératrice).
Relier rayon, hauteur et génératrice par Pythagore.
Construire le patron d’un cône de révolution.

Pourquoi cette leçon ?

Un chapeau de paysan, un entonnoir, un cornet de glace ou le toit de certaines cases sont des cônes. Pour les fabriquer en carton, en tôle ou en raphia, il faut savoir tracer leur patron.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce le théorème de Pythagore.

Calcule le périmètre d’un cercle de rayon 3 cm.

Calcule la longueur de l’arc d’un angle au centre de 120° dans un cercle de rayon 6 cm.

Situation problème : Le chapeau du planteur

Un vannier de Ndop veut fabriquer un chapeau conique en raphia. La base doit avoir un rayon de 15 cm et la génératrice (du sommet au bord) mesure 25 cm.
Quelle est la hauteur du chapeau ? Comment découper la surface latérale dans une seule pièce plate ?

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Activité d’apprentissage

On considère un cône de sommet $S$ , de base le disque de centre $O$ et de rayon $O A = 3$ cm, de génératrice $S A = 5$ cm.

Quelle est la nature du triangle $S O A$ ? Calcule la hauteur $S O$ .
Quand on « déroule » la surface latérale, on obtient un secteur de disque de rayon $S A$ . Quelle est la longueur de l’arc de ce secteur ?
Calcule l’angle du secteur en utilisant la proportionnalité avec le cercle de rayon $S A$ .
Construis le patron du cône, puis réponds au vannier.

Description

Un cône de révolution est engendré par la rotation d’un triangle

S O A

rectangle en

O

autour de la droite

(S O)

.
•

S

est le sommet ; la base est le disque de centre

O

et de rayon

r = O A

.
•

S O = h

est la hauteur ;

[S A]

est une génératrice, de longueur

g

.
•

g^{2} = h^{2} + r^{2}

Exemple à traiter : Un cône a une hauteur de 12 cm et un rayon de 5 cm. Calcule sa génératrice.

R2 · Patron

Le patron d’un cône de révolution est formé :
• d’un disque de rayon

r

(la base) ;
• d’un secteur circulaire de rayon

g

dont l’arc mesure

2 π r

.
L’angle du secteur vaut

α = \frac{360 \times r}{g}

degrés.

Exemple à traiter : Calcule l’angle du secteur du patron d’un cône de rayon 4 cm et de génératrice 10 cm.

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Construction du patron

1. Tracer le secteur de rayon

g

et d’angle

α

.
2. Tracer le disque de rayon

r

, tangent à l’arc du secteur.

Exemple à traiter : Construis le patron d’un cône de rayon 2 cm et de génératrice 6 cm.

Erreurs fréquentes

⚠ Rayon du secteur = r

Le secteur a pour rayon la génératrice

g

, et non le rayon de la base.

⚠ Hauteur et génératrice

La hauteur est perpendiculaire à la base ; la génératrice est oblique.

Exercice d’application

Un cône a une génératrice de 13 cm et une hauteur de 12 cm. Calcule le rayon de sa base.
Construis le patron d’un cône de rayon 3 cm et de génératrice 9 cm.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Cône : sommet, base circulaire de rayon

r

, hauteur

h

, génératrice

g

avec

g^{2} = h^{2} + r^{2}

. Patron : un disque et un secteur d’angle

\frac{360 r}{g}