Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Cercle · Leçon 5

Secteurs angulaires au centre et angles au centre

Mesurer les arcs et les secteurs d’un disque.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Secteurs angulaires au centre et angles au centre », proposé par ndolomathndolomath

Secteurs et angles au centre

💡 Idée principale : Un angle au centre a pour sommet le centre du cercle. Il délimite un arc et un secteur angulaire. La longueur de l’arc et l’aire du secteur sont proportionnelles à la mesure de l’angle au centre.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître un angle au centre, un arc et un secteur angulaire.
Calculer la longueur d’un arc.
Calculer l’aire d’un secteur angulaire.
Utiliser des secteurs dans un diagramme circulaire.

Pourquoi cette leçon ?

Une part de pizza, l’éventail d’un arrosage automatique ou une part dans un diagramme circulaire sont des secteurs. Leur aire et leur bord se calculent par proportionnalité avec l’angle.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle le périmètre et l’aire d’un cercle de rayon

r

Complète : 360° correspond au disque entier, 90° correspond à … du disque.

Calcule

\frac{60}{360}

sous forme irréductible.

Situation problème : L’arroseur du jardin

Dans un jardin de Kumba, un arroseur tourne de 120° et projette l’eau jusqu’à 6 m. Le jardinier veut savoir quelle surface de gazon est arrosée et quelle longueur de bordure est mouillée au bout du jet.
Peux-tu l’aider ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Secteurs angulaires au centre et angles au centre », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On considère un disque de centre $O$ et de rayon $r = 6$ m.

Calcule le périmètre et l’aire du disque entier.
Quelle fraction du disque représente un angle de 120° ?
Déduis-en la longueur de l’arc et l’aire du secteur de 120°.
Réponds au jardinier (valeurs exactes en fonction de $π$ , puis arrondies).

Vocabulaire

Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. Ses côtés coupent le cercle en

A

B

: il intercepte l’arc

\overset{⌢}{A B}

et délimite un secteur angulaire (portion de disque).

Exemple à traiter : Trace un cercle de centre

O

et un angle au centre de 75°. Colorie le secteur correspondant et repasse en rouge l’arc intercepté.

R2 · Longueur d’un arc

Pour un angle au centre de mesure

n

degrés dans un cercle de rayon

r

ℓ = \frac{n}{360} \times 2 π r

Exemple à traiter : Calcule la longueur de l’arc intercepté par un angle au centre de 45° dans un cercle de rayon 8 cm.

Aire d’un secteur

Pour un angle au centre de mesure

n

degrés dans un disque de rayon

r

A = \frac{n}{360} \times π r^{2}

Exemple à traiter : Calcule l’aire d’un secteur de 150° dans un disque de rayon 4 cm.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Secteurs angulaires au centre et angles au centre », proposé par ndolomathndolomath

Diagramme circulaire

Dans un diagramme circulaire, l’angle de chaque secteur est proportionnel à l’effectif :

angle = \frac{effectif}{effectif total} \times 360 °

Exemple à traiter : Dans une classe de 40 élèves, 18 viennent à pied. Calcule l’angle du secteur correspondant.

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier la proportion

L’arc n’est qu’une fraction du périmètre : on multiplie par

\frac{n}{360}

⚠ Confondre r et diamètre

Les formules utilisent le rayon

r

Exercice d’application

Calcule la longueur de l’arc et l’aire du secteur pour un angle de 72° et un rayon de 10 cm.
Un secteur de rayon 9 cm a une aire de $27 π$ cm². Quelle est la mesure de l’angle au centre ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Arc :

\frac{n}{360} \times 2 π r

. Secteur :

\frac{n}{360} \times π r^{2}

. Tout est proportionnel à l’angle au centre.