Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Cercle · Leçon 4

Tangentes passant par un point extérieur au cercle

Deux tangentes de même longueur depuis un point extérieur.

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Cours de Mathématiques : « Tangentes passant par un point extérieur au cercle », proposé par ndolomathndolomath

Tangentes issues d’un point

💡 Idée principale : D’un point

M

extérieur à un cercle, on peut mener exactement deux tangentes au cercle. On les construit grâce au cercle de diamètre

[O M]

, et les deux segments de tangente ont la même longueur.

Ce que tu vas apprendre

Construire les tangentes à un cercle issues d’un point extérieur.
Justifier la construction avec le cercle de diamètre $[O M]$ .
Savoir que les deux segments de tangente ont la même longueur.

Pourquoi cette leçon ?

Une courroie qui entoure une poulie, une ficelle tendue depuis un clou jusqu’à une roue : leurs parties droites sont des tangentes issues d’un point. Il faut savoir où elles touchent le cercle.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis la tangente à un cercle en un point donné.

Énonce la propriété du cercle de diamètre

[A B]

et des triangles rectangles.

Construis le milieu d’un segment au compas.

Situation problème : La courroie du moulin

Dans un moulin à maïs de Bafoussam, une courroie tendue part d’un point $M$ du moteur et s’enroule autour d’une poulie de centre $O$ et de rayon 8 cm. On a $O M = 17$ cm.
Où la courroie touche-t-elle la poulie ? Quelle est la longueur de chaque partie droite de la courroie ?

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Activité d’apprentissage

On trace un cercle $(C)$ de centre $O$ , de rayon 3 cm, et un point $M$ tel que $O M = 7$ cm.

Construis le milieu $I$ de $[O M]$ , puis le cercle de centre $I$ passant par $O$ . Il coupe $(C)$ en $A$ et $B$ .
Quelle est la nature des triangles $O A M$ et $O B M$ ? Justifie.
Déduis-en que $(M A)$ et $(M B)$ sont tangentes à $(C)$ .
Calcule $M A$ et $M B$ . Que remarques-tu ?

Nombre de tangentes

• Si

M

est à l’extérieur du cercle, il existe exactement deux tangentes au cercle passant par

M

.
• Si

M

est sur le cercle, il en existe une seule.
• Si

M

est à l’intérieur, il n’en existe aucune.

Exemple à traiter : Combien de tangentes à un cercle de rayon 4 cm passent par un point situé à 3 cm, à 4 cm puis à 6 cm du centre ?

R2 · Construction

1. Tracer le milieu

I

[O M]

.
2. Tracer le cercle de diamètre

[O M]

; il coupe le cercle en

A

B

.
3. Les droites

(M A)

(M B)

sont les tangentes cherchées, car

\hat{O A M} = \hat{O B M} = 90 °

Exemple à traiter : Construis les tangentes à un cercle de rayon 2,5 cm issues d’un point situé à 6 cm du centre.

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Longueurs des tangentes

Les deux segments de tangente

[M A]

[M B]

ont la même longueur :

M A = M B = \sqrt{O M^{2} - r^{2}}

. La droite

(O M)

est un axe de symétrie de la figure.

Exemple à traiter : Calcule la longueur des tangentes issues d’un point situé à 10 cm du centre d’un cercle de rayon 6 cm.

Erreurs fréquentes

⚠ Construire au jugé

On ne trace pas les tangentes « à l’œil » : on construit les points de contact avec le cercle de diamètre

[O M]

⚠ Oublier une tangente

D’un point extérieur, il y a toujours deux tangentes.

Exercice d’application

Construis les deux tangentes issues de $M$ à un cercle de rayon 3 cm, avec $O M = 5$ cm. Calcule leur longueur.
Démontre que le quadrilatère $O A M B$ a deux angles droits et que $(O M)$ est la médiatrice de $[A B]$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

D’un point extérieur

M

partent deux tangentes. On trouve les points de contact avec le cercle de diamètre

[O M]

M A = M B = \sqrt{O M^{2} - r^{2}}