Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Cercle · Leçon 3

Tangente à un cercle

Une droite perpendiculaire au rayon en un point du cercle.

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Cours de Mathématiques : « Tangente à un cercle », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : La tangente à un cercle en un point

A

est la droite qui touche le cercle seulement en

A

. Elle est perpendiculaire au rayon

[O A]

: c’est ce qui permet de la construire facilement.

Ce que tu vas apprendre

Définir la tangente à un cercle en un point.
Connaître la propriété : tangente perpendiculaire au rayon.
Construire la tangente à un cercle en un point donné.
Utiliser la tangente dans des calculs (Pythagore).

Pourquoi cette leçon ?

Une roue de vélo touche la route en un seul point, et la route est perpendiculaire au rayon qui va à ce point. Cette propriété des tangentes est utilisée en mécanique, en architecture et en dessin technique.

Prérequis : vérifie tes bases

Trace la perpendiculaire à une droite en un de ses points.

Rappelle les trois positions d’une droite par rapport à un cercle.

Énonce le théorème de Pythagore.

Situation problème : La roue et la route

Une roue de pousse-pousse de 30 cm de rayon roule sur une route plate. Le point de contact avec le sol est $A$ et le centre de la roue est $O$ . Un caillou $C$ est posé sur la route à 40 cm de $A$ .
Quelle est la distance entre le centre de la roue et le caillou ? Pourquoi la route est-elle perpendiculaire au rayon $[O A]$ ?

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Activité d’apprentissage

On trace un cercle de centre $O$ , de rayon 3 cm, et un point $A$ du cercle.

Trace la droite $(D)$ perpendiculaire à $(O A)$ en $A$ .
Place un point $M$ sur $(D)$ , distinct de $A$ . Compare $O M$ et $O A$ à l’aide du triangle $O A M$ .
Déduis-en le nombre de points communs entre $(D)$ et le cercle.
Réponds aux questions de la situation problème.

Définition et propriété

La tangente à un cercle de centre

O

en un point

A

de ce cercle est la droite passant par

A

et perpendiculaire au rayon

[O A]

. Elle n’a qu’un seul point commun avec le cercle : le point de contact

A

Exemple à traiter : Trace un cercle de centre

O

et la tangente en trois points

A

B

C

de ce cercle.

R2 · Propriété réciproque

Si une droite est tangente en

A

à un cercle de centre

O

, alors elle est perpendiculaire à

(O A)

.
Si une droite passe par un point

A

du cercle et est perpendiculaire à

(O A)

, alors elle est tangente au cercle en

A

Exemple à traiter :

(T)

est tangente en

A

au cercle de centre

O

. Quelle est la nature du triangle

O A M

pour

M \in (T)

Tangentes parallèles

Les tangentes en deux points diamétralement opposés d’un cercle sont parallèles (elles sont perpendiculaires au même diamètre).

Exemple à traiter :

[A B]

est un diamètre d’un cercle. Démontre que les tangentes en

A

et en

B

sont parallèles.

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Erreurs fréquentes

⚠ Tangente passant par O

Une tangente ne passe jamais par le centre du cercle.

⚠ Angle non droit

Le rayon et la tangente forment toujours un angle droit au point de contact.

Exercice d’application

$(T)$ est tangente en $A$ au cercle de centre $O$ et de rayon 5 cm ; $M$ est un point de $(T)$ avec $A M = 12$ cm. Calcule $O M$ .
Réponds à la situation problème.
Construis un carré dont les quatre côtés sont tangents à un cercle de rayon 2 cm.

À retenir

La tangente en

A

au cercle de centre

O

est la perpendiculaire à

(O A)

A

. Elle n’a qu’un point commun avec le cercle.