Cours
MATHÉMATIQUES · 4e
Chapitre : Cercle · Leçon 2

Positions relatives d’une droite et d’un cercle

Sécante, tangente ou extérieure : tout dépend de la distance au centre.
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Cours de Mathématiques : « Positions relatives d’une droite et d’un cercle », proposé par ndolomathndolomath
Droite et cercle
💡 Idée principale : La position d’une droite par rapport à un cercle dépend de la distance d entre le centre et la droite, comparée au rayon r : deux points communs si d<r, un seul si d=r, aucun si d>r.
Ce que tu vas apprendre
  1. Calculer ou mesurer la distance du centre d’un cercle à une droite.
  2. Déterminer la position relative d’une droite et d’un cercle.
  3. Construire une droite sécante, tangente ou extérieure à un cercle.
Pourquoi cette leçon ?
Une route droite passe près d’un rond-point circulaire : va-t-elle le traverser, le frôler ou passer à côté ? Il suffit de comparer la distance du centre à la route avec le rayon du rond-point.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Construis la distance d’un point à une droite.
2
Rappelle la définition d’un cercle de centre O et de rayon r.
3
Compare OM et r lorsque M est à l’intérieur d’un cercle.
Situation problème : Le rond-point et la nouvelle route

À Garoua, un rond-point circulaire a un rayon de 25 m. Les ingénieurs hésitent entre trois tracés rectilignes pour une nouvelle route, situés respectivement à 18 m, 25 m et 32 m du centre du rond-point.
Pour chaque tracé, la route coupe-t-elle le rond-point, le frôle-t-elle, ou passe-t-elle à côté ?

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Activité d’apprentissage

On trace un cercle (C) de centre O et de rayon 3 cm, puis trois droites (d1), (d2), (d3) situées à 2 cm, 3 cm et 4 cm de O.

  1. Pour chaque droite, compte les points communs avec le cercle.
  2. Construis le pied H de la perpendiculaire à (d2) issue de O. Où se trouve H par rapport au cercle ?
  3. Pour un point M de (d3), compare OM avec 3 cm. Justifie.
  4. Réponds à la question des ingénieurs.
R1
Trois positions possibles
Soit (C) un cercle de centre O et de rayon r, et d la distance de O à la droite (D) :
• si d<r : (D) est sécante au cercle (deux points communs) ;
• si d=r : (D) est tangente au cercle (un seul point commun) ;
• si d>r : (D) est extérieure au cercle (aucun point commun).
Exemple à traiter : Un cercle a un rayon de 5 cm. Donne la position d’une droite située à 3 cm, 5 cm puis 7,5 cm du centre.
R2 · Corde
Si la droite est sécante en A et B, le segment [AB] est une corde. Le pied H de la perpendiculaire issue de O est le milieu de [AB], et AH2=r2−d2 (Pythagore).
Exemple à traiter : Un cercle de rayon 10 cm est coupé par une droite située à 6 cm du centre. Calcule la longueur de la corde.
Erreurs fréquentes
⚠ Comparer avec le diamètre
On compare la distance au centre avec le rayon, pas avec le diamètre.
⚠ Mesurer en biais
La distance du centre à la droite se mesure perpendiculairement à la droite.
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Exercice d’application
  1. Trace un cercle de rayon 2,5 cm, puis une droite sécante, une droite tangente et une droite extérieure.
  2. Un cercle de centre O a un rayon de 13 cm. Une corde [AB] mesure 24 cm. Calcule la distance de O à la droite (AB).
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Distance du centre à la droite d et rayon r : d<r sécante, d=r tangente, d>r extérieure.
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Préparation du PDF…