Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Cercle · Leçon 1

Propriété réciproque de Pythagore

Prouver qu’un triangle est rectangle avec trois longueurs.

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Cours de Mathématiques : « Propriété réciproque de Pythagore », proposé par ndolomathndolomath

Réciproque de Pythagore

💡 Idée principale : Si, dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle. On peut ainsi vérifier un angle droit par le calcul ; et un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse.

Ce que tu vas apprendre

Énoncer la réciproque du théorème de Pythagore.
Démontrer qu’un triangle est rectangle ou qu’il ne l’est pas.
Relier triangle rectangle et cercle de diamètre l’hypoténuse.

Pourquoi cette leçon ?

Les maçons vérifient l’angle droit d’une fondation avec une corde à nœuds 3-4-5 : la réciproque de Pythagore garantit que l’angle est droit. C’est une méthode ancienne et toujours utilisée sur les chantiers.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce le théorème de Pythagore.

Calcule :

8^{2} + 15^{2}

17^{2}

Où se trouve le centre du cercle passant par les trois sommets d’un triangle rectangle ?

Situation problème : La corde du maçon

Pour tracer l’angle droit d’une fondation à Yaoundé, le maçon Martin tend une corde sur laquelle il a fait des nœuds formant un triangle de côtés 3 m, 4 m et 5 m. Son apprenti propose un triangle de 4 m, 5 m et 6 m.
Quel triangle donne vraiment un angle droit ? Où se trouve l’angle droit ?

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Activité d’apprentissage

On étudie les deux triangles proposés.

Pour le triangle de Martin, calcule le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres.
Fais de même pour le triangle de l’apprenti.
Construis les deux triangles à l’échelle (1 m pour 1 cm) et vérifie les angles avec l’équerre.
Trace le cercle de diamètre le plus grand côté du triangle de Martin. Que remarques-tu pour le troisième sommet ?

Réciproque de Pythagore

Si, dans un triangle

A B C

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

, alors le triangle

A B C

est rectangle en $A$ .

Exemple à traiter : Le triangle

E F G

avec

E F = 20

F G = 21

E G = 29

est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

R2 · Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle

On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. S’ils sont différents, le triangle n’est pas rectangle (sinon, le théorème de Pythagore donnerait l’égalité).

Exemple à traiter : Le triangle

K L M

avec

K L = 7

L M = 9

K M = 11

est-il rectangle ?

Triangle rectangle et cercle

• Si un triangle est rectangle, il est inscrit dans le cercle dont l’hypoténuse est un diamètre ; le centre est le milieu de l’hypoténuse.
• Réciproquement, si un point

M

d’un cercle de diamètre

[A B]

est distinct de

A

B

, le triangle

A M B

est rectangle en

M

Exemple à traiter :

A B C

est rectangle en

A

avec

B C = 10

cm. Quel est le rayon du cercle circonscrit ? Calcule la longueur de la médiane issue de

A

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Erreurs fréquentes

⚠ Mauvais côté

On compare toujours le carré du plus grand côté à la somme des deux autres.

⚠ Calcul « en chaîne »

On calcule les deux membres séparément, sans écrire une égalité qu’on n’a pas encore prouvée.

Exercice d’application

Le triangle de côtés 1,2 m ; 1,6 m ; 2 m est-il rectangle ?
$[A B]$ est un diamètre d’un cercle de rayon 6,5 cm et $M$ un point du cercle avec $A M = 5$ cm. Calcule $B M$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

⟹ triangle rectangle en

A

. Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse.