Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 3

Factorisation d’une expression littérale

Transformer une somme en produit.

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Cours de Mathématiques : « Factorisation d’une expression littérale », proposé par ndolomathndolomath

Factorisation

💡 Idée principale : Factoriser, c’est transformer une somme en produit. On met en évidence un facteur commun, ou on reconnaît une identité remarquable lue « à l’envers ».

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître un facteur commun.
Factoriser à l’aide d’un facteur commun.
Factoriser à l’aide d’une identité remarquable.

Pourquoi cette leçon ?

Une expression factorisée permet de simplifier une fraction, de calculer plus vite ou de résoudre une équation comme

(x - 2) (x + 3) = 0

. C’est l’opération inverse du développement.

Prérequis : vérifie tes bases

Développe :

4 (x + 3)

x (x - 5)

Complète :

(a + b)^{2} = \dots

;

a^{2} - b^{2} = \dots

Écris comme un carré :

49

;

9 x^{2}

Situation problème : Le calcul rapide de Linda

Linda doit calculer $37 \times 64 + 37 \times 36$ sans calculatrice. Son frère pose les deux multiplications. Linda trouve le résultat en quelques secondes.
Comment fait-elle ? Peut-on utiliser la même idée avec des lettres ?

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Activité d’apprentissage

On compare le développement et la factorisation.

Calcule $37 \times 64 + 37 \times 36$ en remarquant le nombre commun aux deux produits.
Écris $5 x + 5 \times 3$ sous la forme d’un produit.
Développe $(x - 4) (x + 4)$ . Déduis-en une écriture de $x^{2} - 16$ sous forme de produit.
Explique la méthode de Linda.

Factoriser avec un facteur commun

k a + k b = k (a + b) k a - k b = k (a - b)

Le facteur commun peut être un nombre, une lettre ou une parenthèse.

Exemple à traiter : Factorise :

A = 6 x + 18

;

B = x^{2} - 7 x

;

C = (x + 1) (2 x - 3) + (x + 1) (x + 5)

R2 · Factoriser avec une identité remarquable

a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2} a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2} a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Exemple à traiter : Factorise :

D = x^{2} + 6 x + 9

;

E = x^{2} - 10 x + 25

;

F = 4 x^{2} - 81

Vérifier

Pour vérifier une factorisation, on développe le résultat : on doit retrouver l’expression de départ.

Exemple à traiter : Vérifie que

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

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Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le 1

3 x + 3 = 3 (x + 1)

et non

3 x

⚠ Différence de carrés

a^{2} - b^{2}

se factorise, mais

a^{2} + b^{2}

ne se factorise pas ainsi.

Exercice d’application

Factorise : $G = 9 x^{2} - 12 x + 4$ ; $H = 25 - x^{2}$ .
Factorise : $I = (2 x - 1) (x + 3) - (2 x - 1) (4 x - 2)$ .
Calcule astucieusement $57^{2} - 43^{2}$ .

À retenir

Factoriser = somme → produit. On cherche d’abord un facteur commun, sinon une identité remarquable. On vérifie en développant.