Cours

MATHÉMATIQUES · 4e

Chapitre : Calcul littéral · Leçon 2

Développement : identités remarquables

Transformer un produit en somme.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Développement : identités remarquables », proposé par ndolomathndolomath

Développer et identités remarquables

💡 Idée principale : Développer, c’est transformer un produit en somme. On utilise la distributivité

k (a + b) = k a + k b

, la double distributivité, et trois formules très utiles : les identités remarquables.

Ce que tu vas apprendre

Développer avec la distributivité simple.
Développer avec la double distributivité.
Connaître et utiliser les trois identités remarquables.

Pourquoi cette leçon ?

Calculer

102^{2}

de tête, comparer deux formules d’aire ou simplifier une expression : développer permet de voir ce que cache une expression écrite avec des parenthèses.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

3 \times (4 + 5)

3 \times 4 + 3 \times 5

Réduis :

2 x + 3 x - x^{2} + 4 x^{2}

Calcule :

(- 2 x) \times 3 x

;

(4 x)^{2}

Situation problème : Le jardin agrandi

M. Kouam a un jardin carré de côté $x$ mètres. Il l’agrandit de 2 m dans chaque direction. Son voisin affirme que l’aire augmente simplement de 4 m².
A-t-il raison ? De combien l’aire augmente-t-elle vraiment ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Développement : identités remarquables », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On considère un carré de côté $x$ agrandi en un carré de côté $x + 2$ .

Fais une figure et découpe le grand carré en quatre parties : un carré de côté $x$ , deux rectangles et un petit carré.
Exprime l’aire de chaque partie en fonction de $x$ .
Déduis-en une écriture de $(x + 2)^{2}$ sans parenthèses.
Réponds à la question de la situation problème.

Distributivité

k (a + b) = k a + k b (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis on réduit.

Exemple à traiter : Développe et réduis :

A = 5 (2 x - 3)

;

B = (x + 4) (x - 1)

;

C = (2 x - 3) (3 x + 2)

R2 · Identités remarquables

Pour tous nombres

a

b

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Exemple à traiter : Développe :

(x + 5)^{2}

;

(3 x - 2)^{2}

;

(2 x + 7) (2 x - 7)

Calcul mental

Les identités remarquables permettent de calculer rapidement :

102^{2} = (100 + 2)^{2}

;

99 \times 101 = (100 - 1) (100 + 1)

Exemple à traiter : Calcule de tête :

51^{2}

;

98^{2}

;

49 \times 51

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le double produit

(x + 2)^{2}

n’est pas

x^{2} + 4

⚠ Signe du carré

(a - b)^{2}

contient

+ b^{2}

, car

(- b)^{2} = b^{2}

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Développement : identités remarquables », proposé par ndolomathndolomath

Exercice d’application

Développe et réduis : $D = (x - 3)^{2} + (x + 3) (x - 3)$ .
Développe et réduis : $E = (2 x + 1)^{2} - 4 x (x + 1)$ . Que remarques-tu ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Développer = produit → somme.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}