Cours
MATHÉMATIQUES · 4e
Chapitre : Arithmétique · Leçon 3

PPCM de deux entiers naturels

Le plus petit multiple commun, grâce aux facteurs premiers.
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Cours de Mathématiques : « PPCM de deux entiers naturels », proposé par ndolomathndolomath
PPCM
💡 Idée principale : Le PPCM de deux entiers est le plus petit nombre non nul qui est multiple des deux. On l’obtient en multipliant tous les facteurs premiers des deux décompositions, chacun avec son plus grand exposant.
Ce que tu vas apprendre
  1. Définir le PPCM de deux entiers naturels.
  2. Calculer un PPCM à l’aide des listes de multiples.
  3. Calculer un PPCM à l’aide des décompositions en facteurs premiers.
  4. Utiliser le PPCM pour additionner des fractions et résoudre des problèmes de rencontre.
Pourquoi cette leçon ?
Deux événements qui se répètent régulièrement — deux bus, deux alarmes, deux marchés périodiques — se produisent de nouveau ensemble au bout d’un temps égal au PPCM de leurs périodes.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Écris les huit premiers multiples non nuls de 6 et de 9.
2
Décompose 12 et 18 en produit de facteurs premiers.
3
Calcule 16+14.
Situation problème : Les deux marchés

Dans un village de l’Ouest, le grand marché a lieu tous les 8 jours et le marché aux bestiaux tous les 12 jours. Les deux marchés ont eu lieu ensemble aujourd’hui.
Dans combien de jours auront-ils de nouveau lieu le même jour ?

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Activité d’apprentissage

On cherche les nombres qui sont à la fois multiples de 8 et de 12.

  1. Écris les multiples non nuls de 8 et de 12 inférieurs à 100.
  2. Quels sont les multiples communs ? Quel est le plus petit ?
  3. Décompose 8 et 12 en facteurs premiers. Multiplie tous les facteurs qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant. Que trouves-tu ?
  4. Réponds à la question de la situation problème.
R1
Définition
Le PPCM de deux entiers naturels non nuls a et b est le plus petit multiple commun non nul de a et b. On le note PPCM(a;b).
Exemple à traiter : Détermine PPCM(6;9) et PPCM(4;7) à l’aide des listes de multiples.
R2 · Méthode des facteurs premiers
1. Décomposer a et b en produits de facteurs premiers.
2. Garder tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec le plus grand exposant.
3. Le produit de ces facteurs est le PPCM.
Exemple à traiter : Calcule PPCM(18;30) et PPCM(84;90) par les facteurs premiers.
R3
Dénominateur commun
Pour additionner ou comparer des fractions, on peut prendre comme dénominateur commun le PPCM des dénominateurs : c’est le plus petit possible.
Exemple à traiter : Calcule 518+730 en utilisant PPCM(18;30).
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Erreurs fréquentes
⚠ Multiplier les deux nombres
8×12=96 est un multiple commun, mais pas le plus petit.
⚠ Oublier un facteur
Pour le PPCM, on garde tous les facteurs premiers, même ceux qui n’apparaissent que dans un nombre.
Exercice d’application
  1. Calcule PPCM(24;36) et PPCM(14;15).
  2. Calcule 724−536 en utilisant le PPCM des dénominateurs.
  3. Deux feux clignotent, l’un toutes les 6 secondes, l’autre toutes les 10 secondes. Ils s’allument ensemble. Combien de fois s’allumeront-ils ensemble en une minute ?
À retenir
PPCM = produit de tous les facteurs premiers, avec le plus grand exposant. Il sert pour les dénominateurs communs et les problèmes de rencontre.
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Préparation du PDF…