Cours
MATHÉMATIQUES · 4e
Chapitre : Arithmétique · Leçon 2

PGCD de deux entiers naturels

Le plus grand diviseur commun, grâce aux facteurs premiers.
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Cours de Mathématiques : « PGCD de deux entiers naturels », proposé par ndolomathndolomath
PGCD
💡 Idée principale : Le PGCD de deux entiers est le plus grand nombre qui les divise tous les deux. On l’obtient en multipliant les facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant.
Ce que tu vas apprendre
  1. Définir le PGCD de deux entiers naturels.
  2. Calculer un PGCD à l’aide des listes de diviseurs.
  3. Calculer un PGCD à l’aide des décompositions en facteurs premiers.
  4. Résoudre des problèmes de partage équitable.
Pourquoi cette leçon ?
Pour faire des paquets identiques avec deux sortes d’objets sans en laisser, ou découper des carrés les plus grands possible dans un rectangle, on a besoin du plus grand diviseur commun.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Décompose 48 et 180 en produit de facteurs premiers.
2
Écris la liste des diviseurs de 18 et de 24.
3
Que signifie « a divise b » ?
Situation problème : Les sachets de bonbons

Pour la fête de l’école, Mme Owona dispose de 48 bonbons à la menthe et 180 bonbons au citron. Elle veut faire des sachets identiques, en utilisant tous les bonbons.
Quel est le plus grand nombre de sachets possible ? Combien de bonbons de chaque sorte y aura-t-il par sachet ?

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Activité d’apprentissage

On cherche les nombres qui divisent à la fois 48 et 180.

  1. Écris la liste des diviseurs de 48 et celle des diviseurs de 180.
  2. Entoure les diviseurs communs. Quel est le plus grand ?
  3. Décompose 48 et 180 en facteurs premiers. Quels facteurs ont-ils en commun ? Avec quels exposants ?
  4. Calcule le produit de ces facteurs communs avec leur plus petit exposant. Compare avec la question 2 et réponds à Mme Owona.
R1
Définition
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b est le plus grand diviseur commun à a et b. On le note PGCD(a;b).
Si PGCD(a;b)=1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemple à traiter : Détermine PGCD(18;24) et PGCD(15;28) à l’aide des listes de diviseurs.
R2 · Méthode des facteurs premiers
1. Décomposer a et b en produits de facteurs premiers.
2. Garder les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant.
3. Le produit de ces facteurs est le PGCD.
Exemple à traiter : Calcule PGCD(84;126) et PGCD(360;756) par les facteurs premiers.
R3
PGCD et fractions
Diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD la rend irréductible en une seule étape.
Exemple à traiter : Calcule PGCD(360;756), puis rends 360756 irréductible.
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Erreurs fréquentes
⚠ Prendre le plus grand exposant
Pour le PGCD, on prend le plus petit exposant des facteurs communs.
⚠ Garder des facteurs non communs
Un facteur premier présent dans un seul nombre n’entre pas dans le PGCD.
Exercice d’application
  1. Calcule PGCD(150;210) et PGCD(64;81). Que dire de 64 et 81 ?
  2. Un jardinier veut planter 120 manguiers et 84 avocatiers en rangées identiques, chaque rangée contenant les deux sortes d’arbres. Combien de rangées au maximum ? Composition de chaque rangée ?
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
PGCD = produit des facteurs premiers communs, avec le plus petit exposant. Deux nombres de PGCD 1 sont premiers entre eux.
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Préparation du PDF…