Écrire tout entier comme un produit de nombres premiers.
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Cours de Mathématiques : « Décomposition en produit de facteurs premiers », proposé par ndolomathndolomath
Facteurs premiers
💡 Idée principale : Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 s’écrit de façon unique comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est la « carte d’identité » du nombre : elle sert à trouver ses diviseurs, à simplifier des fractions et à calculer PGCD et PPCM.
Ce que tu vas apprendre
Reconnaître un nombre premier.
Décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
Écrire la décomposition avec des puissances.
Utiliser la décomposition pour simplifier une fraction.
Pourquoi cette leçon ?
Pour simplifier d’un seul coup ou savoir si un grand nombre est un carré parfait, il suffit de connaître ses facteurs premiers. C’est la méthode la plus sûre pour « voir à l’intérieur » d’un nombre.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Écris la liste des diviseurs de 12 et de 17.
2
Rappelle les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9.
3
Écris avec des puissances.
Situation problème : Le code du cadenas
Kevin a oublié le code de son cadenas. Il se souvient seulement que c’est le produit de nombres premiers qui vaut 2 310, et que ces nombres premiers sont tous différents et rangés dans l’ordre croissant. Quels sont ces nombres premiers ? Comment être sûr de les avoir tous trouvés ?
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Activité d’apprentissage
On cherche à écrire 2 310 comme un produit de nombres premiers.
2 310 est-il divisible par 2 ? Effectue la division.
Le quotient est-il divisible par 3 ? par 5 ? Continue avec les nombres premiers dans l’ordre.
Arrête-toi quand le quotient vaut 1. Écris 2 310 comme produit de nombres premiers.
Recommence avec 360 et écris le résultat avec des puissances.
R1
Nombre premier
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… Le nombre 1 n’est pas premier.
Exemple à traiter : Parmi 1, 2, 9, 15, 23, 51, 97, lesquels sont premiers ? Justifie pour 51.
R2 · Décomposition
Tout entier se décompose de façon unique (à l’ordre près) en un produit de facteurs premiers. Méthode : on divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7… tant que c’est possible, jusqu’à obtenir 1. On présente les calculs dans un tableau à deux colonnes.
Exemple à traiter : Décompose en produit de facteurs premiers : 84 ; 150 ; 1 001.
R3
Écriture avec des puissances
On regroupe les facteurs égaux : .
Exemple à traiter : Décompose et écris avec des puissances : 72 ; 500 ; 1 764.
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R4
Simplifier une fraction
On décompose le numérateur et le dénominateur, puis on supprime les facteurs premiers communs : la fraction obtenue est irréductible.
Exemple à traiter : Rends irréductible en utilisant les décompositions.
Erreurs fréquentes
⚠ Utiliser un facteur non premier
On divise seulement par des nombres premiers : diviser par 4 ou 6 ne donne pas la décomposition.
⚠ Croire que 1 est premier
1 n’a qu’un seul diviseur : il n’est pas premier.
Exercice d’application
Décompose en produit de facteurs premiers : 196 ; 525 ; 2 024.
Utilise les décompositions pour rendre irréductible .
Montre que 1 764 est un carré parfait en utilisant sa décomposition.
Réponds à la situation problème.
À retenir
Un nombre premier a exactement deux diviseurs. Tout entier se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers, qu’on écrit avec des puissances.