Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Trigonométrie dans le triangle rectangle · Leçon 1

Sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu

Trois rapports de longueurs qui ne dépendent que de l’angle.

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Cours de Mathématiques : « Sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu », proposé par ndolomathndolomath

Cosinus, sinus, tangente

💡 Idée principale : Dans un triangle rectangle, les rapports entre les côtés ne dépendent que de la mesure d’un angle aigu. On les appelle cosinus, sinus et tangente de cet angle.

Ce que tu vas apprendre

Repérer l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à un angle aigu.
Définir le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu.
Connaître les relations $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ et $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .
Connaître les valeurs pour 30°, 45° et 60°.

Pourquoi cette leçon ?

Le géomètre qui mesure la pente d’une route, l’architecte qui dessine un toit, le pilote qui calcule un angle de descente utilisent tous ces trois rapports. Ils relient les angles et les longueurs d’un triangle rectangle.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce le théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle, comment s’appelle le côté opposé à l’angle droit ?

Énonce la propriété de Thalès.

Situation problème : La rampe de l’hôpital

Pour l’accès des fauteuils roulants, une rampe de l’hôpital régional de Bamenda doit faire un angle d’au plus 5° avec le sol. L’entrepreneur propose une rampe de 8 m de long qui monte de 0,6 m.
La rampe respecte-t-elle la règle ? Peut-on le savoir sans rapporteur ?

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Activité d’apprentissage

Dans la figure, le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ . On s’intéresse à l’angle $\hat{B A C}$ .

Activité : à toi de chercher

Trace trois triangles rectangles de tailles différentes ayant tous un angle de 35°.
Dans chacun, mesure les côtés et calcule les rapports $\frac{adjacent}{hypoténuse}$ , $\frac{opposé}{hypoténuse}$ et $\frac{opposé}{adjacent}$ .
Que remarques-tu ? Explique ce résultat avec la propriété de Thalès.
Dans la situation problème, quel rapport peut-on calculer ? Compare-le avec celui d’un angle de 5° donné par la calculatrice.

Vocabulaire

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné :
• l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ;
• le côté adjacent est le côté de l’angle qui n’est pas l’hypoténuse ;
• le côté opposé est le côté qui ne touche pas l’angle.

Exemple à traiter :

E F G

est rectangle en

F

. Nomme l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à l’angle

\hat{F E G}

, puis à l’angle

\hat{F G E}

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R2 · Définitions

Pour un angle aigu

\hat{A}

d’un triangle rectangle :

\cos \hat{A} = \frac{adjacent}{hypoténuse} \sin \hat{A} = \frac{opposé}{hypoténuse} \tan \hat{A} = \frac{opposé}{adjacent}

Le cosinus et le sinus sont compris entre 0 et 1.

Exemple à traiter :

A B C

est rectangle en

B

avec

A B = 4

B C = 3

A C = 5

. Calcule

\cos \hat{B A C}

\sin \hat{B A C}

\tan \hat{B A C}

Relations

Pour tout angle aigu de mesure

x

\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1 \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

Si deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.

Exemple à traiter : Sachant que

\cos x = 0, 6

, calcule

\sin x

puis

\tan x

Valeurs remarquables

\begin{array}{cccc} x & 30 ° & 45 ° & 60 ° \\ \cos x & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ \sin x & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan x & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \end{array}

Exemple à traiter : À l’aide d’un carré de côté 1 et de sa diagonale, retrouve les valeurs de

\cos 45 °

\sin 45 °

Erreurs fréquentes

⚠ Confondre adjacent et opposé

Le côté adjacent touche l’angle étudié ; il change si l’on change d’angle.

⚠ Cosinus supérieur à 1

Un cosinus ou un sinus supérieur à 1 signale une erreur : l’hypoténuse est le plus grand côté.

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Exercice d’application

$M N P$ est rectangle en $M$ avec $M N = 8$ et $M P = 6$ . Calcule $N P$ , puis le cosinus, le sinus et la tangente de $\hat{M N P}$ .
Sachant que $\sin x = \frac{5}{13}$ , calcule $\cos x$ et $\tan x$ .
Démontre que, pour tout angle aigu $x$ , $1 + \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}$ .

À retenir

CAH-SOH-TOA : Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Sinus = Opposé/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent. Et toujours

\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1