Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Thalès dans le triangle · Leçon 2

Propriété réciproque de Thalès

Des rapports égaux pour prouver que deux droites sont parallèles.

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Cours de Mathématiques : « Propriété réciproque de Thalès », proposé par ndolomathndolomath

Réciproque de Thalès

💡 Idée principale : La réciproque de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles : il suffit que deux rapports de longueurs soient égaux et que les points soient dans le même ordre.

Ce que tu vas apprendre

Énoncer la réciproque de la propriété de Thalès.
Vérifier l’ordre des points et comparer deux rapports.
Démontrer que deux droites sont parallèles, ou qu’elles ne le sont pas.

Pourquoi cette leçon ?

Un menuisier veut s’assurer que la traverse de son échelle est bien parallèle au sol, un maçon que deux murs sont parallèles. Avec quelques mesures et la réciproque de Thalès, on obtient une preuve sans équerre ni règle spéciale.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce la propriété directe de Thalès.

Compare

\frac{6}{9}

\frac{8}{12}

; puis

\frac{5}{7}

\frac{7}{10}

Quand dit-on que trois points sont alignés ?

Situation problème : L’échelle de M. Kamga

M. Kamga fabrique une échelle double. Les deux montants $[S A]$ et $[S B]$ mesurent 2,5 m. Il fixe une barre $[M N]$ avec $M$ sur $[S A]$ à 1,5 m de $S$ et $N$ sur $[S B]$ à 1,5 m de $S$ .
Son apprenti affirme que la barre sera parallèle au sol $(A B)$ seulement si on la mesure avec un niveau. M. Kamga dit qu’un calcul suffit. Qui a raison ?

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Activité d’apprentissage

$A B C$ est un triangle avec $A B = 6$ cm et $A C = 9$ cm. On place $M$ sur $[A B]$ et $N$ sur $[A C]$ avec $A M = 4$ cm et $A N = 6$ cm.

Construis la figure. Les droites $(M N)$ et $(B C)$ semblent-elles parallèles ?
Calcule $\frac{A M}{A B}$ et $\frac{A N}{A C}$ . Que remarques-tu ?
Trace la parallèle à $(B C)$ passant par $M$ ; elle coupe $(A C)$ en $N^{'}$ . Calcule $A N^{'}$ avec la propriété directe. Que peux-tu dire des points $N$ et $N^{'}$ ?
Réponds à la question de la situation problème.

Réciproque de Thalès

Si les points

A

M

B

d’une part et

A

N

C

d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

alors les droites

(M N)

(B C)

sont parallèles.

Exemple à traiter :

A

M

B

A

N

C

sont alignés dans cet ordre, avec

A M = 3

A B = 7, 5

A N = 4

A C = 10

. Les droites

(M N)

(B C)

sont-elles parallèles ?

R2 · Démontrer que des droites ne sont pas parallèles

Si les points sont alignés dans le même ordre mais que

\frac{A M}{A B} \neq \frac{A N}{A C}

, alors les droites

(M N)

(B C)

ne sont pas parallèles (sinon, la propriété directe donnerait des rapports égaux).

Exemple à traiter : On donne

A M = 5

A B = 8

A N = 6

A C = 10

, les points étant dans le même ordre. Les droites

(M N)

(B C)

sont-elles parallèles ?

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Méthode de rédaction

1. Citer les alignements et vérifier l’ordre des points.
2. Calculer séparément les deux rapports (fractions simplifiées ou produits en croix).
3. Conclure en citant la réciproque de Thalès.

Exemple à traiter : Les droites

(E F)

(G H)

se coupent en

O

(configuration papillon). On donne

O E = 2, 4

O F = 4

O G = 3

O H = 5

. Montre que

(E G) ∥ (F H)

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier l’ordre des points

Avec des rapports égaux mais des points dans un ordre différent, la conclusion est fausse.

⚠ Utiliser le 3e rapport

On ne peut pas utiliser

\frac{M N}{B C}

: on ne connaît pas encore le parallélisme.

Exercice d’application

$R$ , $S$ , $T$ et $R$ , $U$ , $V$ sont alignés dans cet ordre. $R S = 4, 5$ , $R T = 7, 5$ , $R U = 6$ , $R V = 10$ . Les droites $(S U)$ et $(T V)$ sont-elles parallèles ?
Même question avec $R S = 3$ , $R T = 8$ , $R U = 4$ , $R V = 10$ .
Dans un triangle $K L M$ , $P \in [K L]$ et $Q \in [K M]$ avec $K P = 2$ , $K L = 5$ , $K Q = 3$ , $K M = 7, 5$ . Démontre que $(P Q) ∥ (L M)$ , puis calcule $P Q$ sachant que $L M = 6$ .

À retenir

Points alignés dans le même ordre et

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

⟹

(M N) ∥ (B C)

. Si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles.