Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Thalès dans le triangle · Leçon 1

Propriété directe de Thalès

Des droites parallèles qui créent des longueurs proportionnelles.

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Cours de Mathématiques : « Propriété directe de Thalès », proposé par ndolomathndolomath

Thalès : propriété directe

💡 Idée principale : Lorsqu’une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés, elle forme un petit triangle dont les côtés sont proportionnels à ceux du grand. On peut alors calculer des longueurs inconnues.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une configuration de Thalès (triangles emboîtés ou papillon).
Écrire l’égalité des trois rapports.
Calculer une longueur à l’aide de la propriété de Thalès.

Pourquoi cette leçon ?

Comment mesurer la hauteur d’un arbre ou la largeur d’un fleuve sans les toucher ? Avec un bâton, son ombre et la propriété de Thalès, il suffit de mesurer quelques longueurs au sol.

Prérequis : vérifie tes bases

Complète le tableau de proportionnalité : 4 → 10 ; 6 → … ; … → 35.

Calcule

x

tel que

\frac{x}{6} = \frac{5}{3}

(produits en croix).

Que signifie : « les droites

(M N)

(B C)

sont parallèles » ?

Situation problème : L’ombre du manguier

Pour mesurer la hauteur d’un manguier, Aïcha plante verticalement un bâton de 1,5 m. Au même moment, l’ombre du bâton mesure 2 m et celle du manguier mesure 12 m. Les rayons du soleil sont parallèles.
Aïcha affirme que le manguier mesure plus de 10 m. A-t-elle raison ?

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Activité d’apprentissage

$A B C$ est un triangle. $M$ est un point de $[A B]$ et $N$ un point de $[A C]$ tels que $(M N) ∥ (B C)$ . On donne $A M = 3$ , $A B = 5$ , $A N = 4, 2$ et $M N = 3, 6$ (en cm).

Activité : à toi de chercher

Construis la figure en vraie grandeur, puis mesure $A C$ et $B C$ .
Calcule les rapports $\frac{A M}{A B}$ , $\frac{A N}{A C}$ et $\frac{M N}{B C}$ . Que remarques-tu ?
Le triangle $A M N$ est-il un agrandissement ou une réduction du triangle $A B C$ ? De quel coefficient ?
Dans la situation problème, repère les deux triangles et les droites parallèles, puis réponds à Aïcha.

Configurations de Thalès

Deux droites

(d)

(d^{'})

sont sécantes en

A

B

M

sont sur

(d)

;

C

N

sont sur

(d^{'})

.
• Si

M \in [A B]

N \in [A C]

: configuration des triangles emboîtés.
• Si

A

est entre

M

B

et entre

N

C

: configuration papillon.

Exemple à traiter : Dessine une configuration emboîtée et une configuration papillon, puis nomme dans chacune les deux triangles concernés.

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R2 · Propriété directe de Thalès

Si les points

A

M

B

d’une part et

A

N

C

d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si

(M N) ∥ (B C)

, alors :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Exemple à traiter : Avec les données de l’activité, calcule

A C

B C

à l’aide de la propriété de Thalès.

Calculer une longueur

1. Vérifier que les droites sont parallèles et repérer le sommet commun.
2. Écrire l’égalité des trois rapports, petit triangle en haut, grand en bas.
3. Garder les deux rapports utiles et utiliser les produits en croix.

Exemple à traiter :

E

A

F

sont alignés ainsi que

G

A

H

, et

(E G) ∥ (F H)

. On donne

A E = 2

A F = 5

E G = 3

. Calcule

F H

Erreurs fréquentes

⚠ Mélanger les côtés

Chaque rapport compare deux côtés correspondants : ceux du petit triangle au numérateur, ceux du grand au dénominateur.

⚠ Oublier le parallélisme

La propriété ne s’applique que si les deux droites sont parallèles : il faut le vérifier ou le citer.

Exercice d’application

$A B C$ est un triangle ; $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ et $(M N) ∥ (B C)$ . On donne $A B = 8$ , $A M = 6$ , $A C = 10$ , $B C = 12$ . Calcule $A N$ et $M N$ .
Les droites $(R S)$ et $(T U)$ se coupent en $O$ , avec $(R T) ∥ (S U)$ . On donne $O R = 4$ , $O S = 6$ , $R T = 5$ , $O U = 7, 5$ . Calcule $S U$ et $O T$ .
Un poteau de 2 m projette une ombre de 3,2 m. Au même moment, l’ombre d’un immeuble mesure 24 m. Quelle est la hauteur de l’immeuble ?

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À retenir

Droites parallèles ⇒ longueurs proportionnelles :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

. On garde deux rapports et on utilise les produits en croix.