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MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base · Leçon 2

Section d’une pyramide par un plan parallèle à la base

Une base réduite, une pyramide réduite.

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Cours de Mathématiques : « Section d’une pyramide par un plan parallèle à la base », proposé par ndolomathndolomath

Section d’une pyramide

💡 Idée principale : La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même forme que la base. La petite pyramide est une réduction de la grande, de coefficient

k

Ce que tu vas apprendre

Connaître la nature de la section d’une pyramide par un plan parallèle à la base.
Calculer les dimensions de la section avec le coefficient $k$ .
Calculer l’aire de la section et le volume de la petite pyramide.
Calculer le volume d’un tronc de pyramide.

Pourquoi cette leçon ?

Les toits en forme de pyramide, les pots de fleurs ou certaines bornes routières sont des pyramides ou des troncs de pyramide. Pour calculer leur volume, on utilise la réduction.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle la formule du volume d’une pyramide.

Calcule l’aire d’un carré de côté 6 cm et d’un rectangle de 4 cm sur 7 cm.

k = \frac{2}{3}

, calcule

k^{2}

k^{3}

Situation problème : Le monument du carrefour

Pour décorer un carrefour à Limbé, la mairie fait construire en béton un tronc de pyramide. La pyramide complète aurait une base carrée de 3 m de côté et une hauteur de 4,5 m ; on la coupe à 1,5 m du sommet, parallèlement à la base.
Quel volume de béton faut-il commander ?

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Activité d’apprentissage

$S A B C D$ est une pyramide régulière à base carrée, de hauteur $S O = 4, 5$ m et de côté $A B = 3$ m. Un plan parallèle à la base coupe $[S A]$ , $[S B]$ , $[S C]$ , $[S D]$ en $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ , avec $S O^{'} = 1, 5$ m.

Quelle est la nature du quadrilatère $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ? Justifie.
Calcule $k = \frac{S O^{'}}{S O}$ , puis $A^{'} B^{'}$ .
Calcule l’aire de la base et celle de la section. Compare leur rapport avec $k^{2}$ .
Calcule le volume de la grande pyramide, puis celui de la petite. Déduis-en le volume de béton.

Nature de la section

La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que la base (réduction de la base). La petite pyramide est une réduction de la grande de coefficient :

k = \frac{S O^{'}}{S O} = \frac{S A^{'}}{S A} = \frac{A^{'} B^{'}}{A B}

Exemple à traiter : Une pyramide à base rectangulaire de 8 cm sur 6 cm et de hauteur 12 cm est coupée à 3 cm du sommet. Donne la nature et les dimensions de la section.

R2 · Aires et volumes

Dans une réduction de coefficient

k

: longueurs ×

k

, aires ×

k^{2}

, volumes ×

k^{3}

.
Volume du tronc de pyramide = volume de la grande pyramide − volume de la petite.

Exemple à traiter : Une pyramide de volume 1 200 cm³ est coupée par un plan parallèle à la base au quart de sa hauteur en partant du sommet. Calcule le volume de la petite pyramide et celui du tronc.

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Retrouver la grande pyramide

Si l’on connaît la petite pyramide et le coefficient

k

, on retrouve les dimensions de la grande en divisant les longueurs par

k

, les aires par

k^{2}

et les volumes par

k^{3}

Exemple à traiter : La section d’une pyramide a une aire de 18 cm² et le coefficient de réduction vaut

\frac{3}{5}

. Calcule l’aire de la base.

Erreurs fréquentes

⚠ Section de forme différente

La section a toujours la même forme que la base ; seule sa taille change.

⚠ Oublier de soustraire

Le tronc n’est pas la petite pyramide : on soustrait son volume à celui de la grande.

Exercice d’application

Une pyramide régulière à base carrée de côté 9 cm a une hauteur de 15 cm. On la coupe à 10 cm du sommet. Calcule le côté de la section et le volume de la petite pyramide.
Calcule le volume du tronc de pyramide de l’exercice 1.
Le volume d’une petite pyramide est $\frac{8}{27}$ de celui de la grande. Quel est le coefficient de réduction ?

À retenir

Section parallèle à la base = polygone de même forme que la base. Coefficient

k = \frac{S O^{'}}{S O}

: longueurs ×

k

, aires ×

k^{2}

, volumes ×

k^{3}