Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base · Leçon 1

Section d’un cône par un plan parallèle à la base

Un petit cône, réduction du grand.

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Cours de Mathématiques : « Section d’un cône par un plan parallèle à la base », proposé par ndolomathndolomath

Section d’un cône

💡 Idée principale : Lorsqu’on coupe un cône de révolution par un plan parallèle à sa base, la section est un disque, et le petit cône obtenu est une réduction du grand. Les longueurs sont multipliées par

k

, les aires par

k^{2}

et les volumes par

k^{3}

Ce que tu vas apprendre

Connaître la nature de la section d’un cône par un plan parallèle à la base.
Calculer le coefficient de réduction $k$ .
Calculer le rayon de la section, l’aire et le volume du petit cône.

Pourquoi cette leçon ?

Un abat-jour, un seau, un entonnoir ou un verre à pied sont des cônes « coupés ». Pour calculer leur contenance ou la quantité de matière nécessaire, on utilise la réduction d’un cône.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle la formule du volume d’un cône de rayon

r

et de hauteur

h

Énonce la propriété de Thalès.

Si une longueur est multipliée par 3, par combien est multipliée l’aire d’un carré construit sur elle ?

Situation problème : Le seau de Mama Bih

Mama Bih vend du jus de foléré dans un récipient en forme de cône de 30 cm de hauteur et de 12 cm de rayon de base, pointe en bas. Elle remplit le récipient jusqu’à 20 cm de hauteur.
Elle pense qu’elle a rempli les deux tiers du récipient. A-t-elle raison ? Quel volume de jus contient le récipient ?

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Activité d’apprentissage

Un cône de sommet $S$ , de hauteur $S O = 30$ cm et de rayon $O A = 12$ cm, est coupé par un plan parallèle à la base, à 20 cm du sommet. Le centre de la section est $O^{'}$ et $A^{'}$ est un point de son cercle.

Activité : à toi de chercher

Quelle est la nature de la section ? Justifie que $(O^{'} A^{'}) ∥ (O A)$ .
Utilise la propriété de Thalès dans le triangle $S O A$ pour calculer $O^{'} A^{'}$ .
Calcule $k = \frac{S O^{'}}{S O}$ . Compare $\frac{O^{'} A^{'}}{O A}$ et $k$ .
Calcule le volume du grand cône et celui du petit cône. Compare leur rapport avec $k^{3}$ . Réponds à Mama Bih.

Nature de la section

La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque dont le centre est sur la hauteur du cône. Le petit cône obtenu est une réduction du grand cône de coefficient :

k = \frac{S O^{'}}{S O} = \frac{O^{'} A^{'}}{O A} = \frac{S A^{'}}{S A} (0 < k < 1)

Exemple à traiter : Un cône a pour hauteur 18 cm et pour rayon 6 cm. On le coupe à 12 cm du sommet, parallèlement à la base. Calcule

k

et le rayon de la section.

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R2 · Aires et volumes

Dans une réduction de coefficient

k

:
• les longueurs sont multipliées par

k

;
• les aires sont multipliées par

k^{2}

;
• les volumes sont multipliés par

k^{3}

Exemple à traiter : Le grand cône a un volume de 540 cm³ et l’aire de sa base vaut 90 cm². Pour

k = \frac{1}{3}

, calcule le volume du petit cône et l’aire de la section.

Tronc de cône

La partie restante entre la base et la section est un tronc de cône. Son volume est la différence entre le volume du grand cône et celui du petit cône.

Exemple à traiter : Calcule le volume du tronc de cône obtenu à partir du cône de l’exemple R1.

Erreurs fréquentes

⚠ Multiplier le volume par k

Les volumes sont multipliés par

k^{3}

et non par

k

⚠ Mesurer depuis la base

Le coefficient

k

se calcule avec des distances mesurées depuis le sommet

S

Exercice d’application

Un cône de hauteur 24 cm et de rayon 10 cm est coupé par un plan parallèle à la base à 6 cm du sommet. Calcule le rayon de la section et le volume du petit cône.
Un verre conique de 9 cm de profondeur contient 180 mL quand il est plein. Quel volume contient-il s’il est rempli sur 6 cm de hauteur ?
Calcule le volume du tronc de cône de l’exercice 1.

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À retenir

Section parallèle à la base = disque, et petit cône = réduction de coefficient

k = \frac{S O^{'}}{S O}

. Longueurs ×

k

, aires ×

k^{2}

, volumes ×

k^{3}