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MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Polygones réguliers · Leçon 2

Polygones réguliers : carré et octogone régulier

Huit sommets à partir des diagonales du carré.

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Cours de Mathématiques : « Polygones réguliers : carré et octogone régulier », proposé par ndolomathndolomath

Carré et octogone

💡 Idée principale : Le carré inscrit dans un cercle a des diagonales qui sont des diamètres perpendiculaires. En traçant les bissectrices des angles au centre, on obtient les huit sommets d’un octogone régulier.

Ce que tu vas apprendre

Construire un carré et un octogone réguliers inscrits dans un cercle.
Calculer le côté et l’aire du carré en fonction du rayon.
Calculer l’angle au centre et l’aire de l’octogone régulier.

Pourquoi cette leçon ?

Les panneaux « STOP » sont des octogones réguliers, beaucoup de carreaux et de dalles sont carrés. Savoir les construire à partir d’un cercle et calculer leurs dimensions sert en dessin technique, en menuiserie et en maçonnerie.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la diagonale d’un carré de côté 5 cm.

Construis la bissectrice d’un angle droit.

Calcule l’aire d’un triangle dont deux côtés mesurent 4 et 4 et forment un angle de 45° (aide : hauteur et sinus).

Situation problème : Le panneau STOP

Un atelier de Douala découpe des panneaux STOP en forme d’octogone régulier dans des plaques carrées. L’octogone est inscrit dans un cercle de 40 cm de rayon.
Quelle est l’aire d’un panneau ? Quel pourcentage de la plaque carrée de 80 cm de côté est utilisé ?

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Activité d’apprentissage

On trace un cercle de centre $O$ et de rayon $r = 4$ cm, et deux diamètres perpendiculaires $[A C]$ et $[B D]$ .

Quelle est la nature du quadrilatère $A B C D$ ? Justifie, puis calcule son côté en fonction de $r$ .
Trace les bissectrices des angles $\hat{A O B}$ et $\hat{B O C}$ ; elles recoupent le cercle en quatre nouveaux points. Joins les huit points dans l’ordre.
Calcule l’angle au centre de l’octogone obtenu.
Calcule l’aire d’un des huit triangles isocèles de sommet $O$ , puis celle de l’octogone.

Carré inscrit

Un carré inscrit dans un cercle de rayon

r

a pour diagonales deux diamètres perpendiculaires. Son côté vaut

c = r \sqrt{2}

, son apothème

\frac{r \sqrt{2}}{2}

et son aire

2 r^{2}

Exemple à traiter : Calcule le côté, le périmètre et l’aire d’un carré inscrit dans un cercle de rayon 7 cm.

R2 · Octogone régulier

Pour construire un octogone régulier inscrit : on trace le carré inscrit, puis les bissectrices des angles au centre. L’angle au centre vaut

\frac{360 °}{8} = 45 °

Exemple à traiter : Calcule la mesure de chaque angle intérieur d’un octogone régulier.

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Aire de l’octogone

L’octogone est formé de 8 triangles isocèles de sommet

O

, de côtés

r

et d’angle 45°. L’aire de chacun vaut

\frac{1}{2} r^{2} \sin 45 ° = \frac{r^{2} \sqrt{2}}{4}

, donc :

aire de l’octogone = 2 r^{2} \sqrt{2}

Exemple à traiter : Calcule l’aire d’un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon 10 cm.

Erreurs fréquentes

⚠ Côté de l’octogone = rayon

C’est vrai pour l’hexagone, pas pour l’octogone : son côté est plus petit que le rayon.

⚠ Oublier les 8 triangles

L’aire de l’octogone est 8 fois celle d’un triangle de sommet

O

Exercice d’application

Construis un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon 3 cm.
Montre que le côté $c$ de l’octogone inscrit dans un cercle de rayon $r$ vérifie $c^{2} = r^{2} (2 - \sqrt{2})$ (aide : dans le triangle formé par $O$ et deux sommets consécutifs, trace la hauteur issue d’un sommet et utilise $\sin 45 °$ , $\cos 45 °$ et Pythagore).
Réponds aux questions de la situation problème.

À retenir

Carré inscrit : côté

r \sqrt{2}

, aire

2 r^{2}

. Octogone régulier : angle au centre 45°, aire

2 r^{2} \sqrt{2}

. On le construit avec les bissectrices des angles du carré.