Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres réels · Leçon 8

Intervalles de ℝ

Une écriture courte pour un ensemble de réels.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Intervalles de ℝ », proposé par ndolomathndolomath

Intervalles

💡 Idée principale : Un intervalle est l’ensemble de tous les réels compris entre deux bornes. Les crochets indiquent si les bornes sont incluses ou exclues ; on représente l’intervalle sur une droite graduée.

Ce que tu vas apprendre

Écrire et lire les différents types d’intervalles.
Représenter un intervalle sur une droite graduée.
Traduire une inégalité par un intervalle, et inversement.
Déterminer l’intersection et la réunion de deux intervalles.

Pourquoi cette leçon ?

« L’âge est compris entre 12 et 16 ans », « la température dépasse 35 °C », « le prix est d’au plus 5 000 F » : ces conditions décrivent des ensembles de nombres. Les intervalles les écrivent de façon courte et précise.

Prérequis : vérifie tes bases

Traduis par une inégalité : «

x

est supérieur ou égal à

- 2

» ; «

x

est strictement inférieur à 5 ».

Place sur une droite graduée :

- 3

;

\frac{1}{2}

;

\sqrt{2}

Que signifient les symboles

\in

\notin

Situation problème : Le concours d’entrée

Pour un concours d’entrée dans une école de Buea, il faut avoir au moins 16 ans et strictement moins de 21 ans. Une seconde condition demande une moyenne d’au moins 12 sur 20.
Comment écrire simplement l’ensemble des âges acceptés ? Ange, qui a 21 ans pile, peut-il se présenter ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Intervalles de ℝ », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On note $x$ l’âge d’un candidat (un réel).

Traduis la condition sur l’âge par une double inégalité.
Représente sur une droite graduée tous les âges acceptés. Comment montres-tu que 16 est accepté et 21 refusé ?
Fais de même pour les moyennes acceptées, comprises entre 12 et 20.
Réponds à la question d’Ange.

Intervalles bornés

Pour

a < b

:
•

[a; b]

a \leq x \leq b

(fermé) ;
•

] a; b [

a < x < b

(ouvert) ;
•

[a; b [

a \leq x < b

;

] a; b]

a < x \leq b

(semi-ouverts).
Le crochet tourné vers le nombre l’inclut ; tourné vers l’extérieur, il l’exclut.

Exemple à traiter : Écris sous forme d’intervalle :

- 1 \leq x \leq 4

;

0 < x \leq 3

;

- 5 < x < - 2

. Représente-les.

R2 · Intervalles non bornés

•

[a; + \infty [

x \geq a

;

] a; + \infty [

x > a

;
•

] - \infty; b]

x \leq b

;

] - \infty; b [

x < b

.
Du côté de

- \infty

+ \infty

, le crochet est toujours ouvert.

R =] - \infty; + \infty [

Exemple à traiter : Écris sous forme d’intervalle :

x \geq 2

;

x < - \sqrt{3}

. Traduis par une inégalité :

x \in] - \infty; 0]

Intersection et réunion

•

I \cap J

(«

I

inter

J

») : réels qui appartiennent aux deux intervalles à la fois.
•

I \cup J

(«

I

union

J

») : réels qui appartiennent à au moins un des deux.
On les lit sur une droite graduée où l’on représente les deux intervalles.

Exemple à traiter : On donne

I = [- 2; 5 [

J =] 1; 7]

. Détermine

I \cap J

I \cup J

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Intervalles de ℝ », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Crochet fermé vers l’infini

On écrit

[3; + \infty [

et jamais

[3; + \infty]

⚠ Confondre ∩ et ∪

L’intersection est la partie commune ; la réunion regroupe tout.

Exercice d’application

Recopie et complète le tableau : inégalité, intervalle, représentation, pour $x \leq 7$ ; $- 3 < x \leq 0$ ; $x \in] \sqrt{2}; + \infty [$ .
On donne $A =] - \infty; 4]$ et $B = [- 1; 6 [$ . Détermine $A \cap B$ et $A \cup B$ .
$π$ appartient-il à $[3, 14; 3, 15]$ ? $- 2$ appartient-il à $] - 2; 0]$ ? Justifie.

À retenir

Crochet tourné vers le nombre : il est inclus. Vers

\pm \infty

, le crochet est toujours ouvert.

\cap

= commun aux deux,

\cup

= dans l’un ou dans l’autre.