Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres réels · Leçon 6

Comparaison de réels comportant un radical

Ranger des nombres comme $2\sqrt{3}$ et $3\sqrt{2}$ sans calculatrice.

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Cours de Mathématiques : « Comparaison de réels comportant un radical », proposé par ndolomathndolomath

Comparer des radicaux

💡 Idée principale : Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. Pour comparer des réels avec radicaux, on compare donc leurs carrés, ou l’on fait entrer les facteurs sous la racine.

Ce que tu vas apprendre

Comparer deux racines carrées.
Comparer des nombres de la forme $a \sqrt{b}$ .
Comparer deux nombres en étudiant le signe de leur différence.

Pourquoi cette leçon ?

Quel est le plus long : un câble de

2 \sqrt{3}

m ou un câble de

3 \sqrt{2}

m ? Sans calculatrice, on peut répondre de façon sûre et exacte grâce aux propriétés de comparaison.

Prérequis : vérifie tes bases

Compare

\frac{3}{4}

\frac{5}{7}

Écris sous la forme

\sqrt{n}

3 \sqrt{2}

;

2 \sqrt{5}

a < b

, compare

a + 3

b + 3

, puis

- 2 a

- 2 b

Situation problème : Les deux câbles

Pour raccorder deux poteaux électriques, l’électricien Moussa hésite entre deux chemins : le premier mesure $2 \sqrt{3}$ m et le second $3 \sqrt{2}$ m. Il veut choisir le plus court sans sortir sa calculatrice.
Quel chemin doit-il choisir ?

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Activité d’apprentissage

On compare quelques nombres positifs et leurs carrés.

Compare 5 et 7, puis $25$ et $49$ . Compare $0, 3$ et $0, 5$ , puis leurs carrés. Que remarques-tu ?
Calcule $(2 \sqrt{3})^{2}$ et $(3 \sqrt{2})^{2}$ .
Déduis-en la comparaison de $2 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{2}$ , puis aide Moussa.
Peut-on utiliser la même méthode pour comparer $- 2 \sqrt{3}$ et $- 3 \sqrt{2}$ ? Que faut-il adapter ?

Comparer des racines

Pour tous réels positifs

a

b

a < b ⟺ \sqrt{a} < \sqrt{b}

Exemple à traiter : Range dans l’ordre croissant :

\sqrt{7}

;

\sqrt{3}

;

\sqrt{12}

;

3

;

\sqrt{10}

R2 · Comparer par les carrés

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : si

a \geq 0

b \geq 0

, alors

a < b ⟺ a^{2} < b^{2}

.
Pour deux nombres négatifs, l’ordre des carrés est inversé.

Exemple à traiter : Compare :

4 \sqrt{2}

2 \sqrt{7}

;

5 \sqrt{3}

3 \sqrt{8}

;

- 3 \sqrt{5}

- 5 \sqrt{2}

Signe de la différence

Pour comparer

a

b

, on peut étudier le signe de

a - b

: si

a - b > 0

, alors

a > b

; si

a - b < 0

, alors

a < b

Exemple à traiter : Compare

1 + \sqrt{5}

3

en étudiant le signe de leur différence.

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Erreurs fréquentes

⚠ Appliquer la règle des carrés aux négatifs

Pour

- 3

- 5

9 < 25

mais

- 3 > - 5

⚠ Comparer les coefficients seuls

2 \sqrt{7}

n’est pas plus petit que

3 \sqrt{2}

juste parce que

2 < 3

Exercice d’application

Range dans l’ordre croissant : $3 \sqrt{5}$ ; $5 \sqrt{2}$ ; $2 \sqrt{11}$ ; $4 \sqrt{3}$ .
Compare $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ et $\sqrt{10}$ en comparant leurs carrés.
Compare $\frac{1}{\sqrt{3}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

À retenir

Pour des nombres positifs, comparer les nombres revient à comparer leurs carrés. On peut aussi étudier le signe de la différence. Attention : avec des négatifs, l’ordre des carrés est inversé.