Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres réels · Leçon 5

Puissances entières d’un nombre réel

Les règles des exposants s’appliquent à tous les réels non nuls.

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Cours de Mathématiques : « Puissances entières d’un nombre réel », proposé par ndolomathndolomath

Puissances de réels

💡 Idée principale : Les règles de calcul sur les puissances vues pour les rationnels restent valables pour tous les réels non nuls, y compris ceux qui contiennent un radical. Elles permettent de simplifier rapidement des expressions comme

(\sqrt{2})^{6}

(2 \sqrt{3})^{- 2}

Ce que tu vas apprendre

Définir $a^{n}$ pour un réel $a$ et un entier relatif $n$ .
Appliquer les règles de calcul sur les exposants.
Calculer des puissances de radicaux.
Simplifier des expressions avec des puissances de 10.

Pourquoi cette leçon ?

En physique, en géographie ou en informatique, on manipule des nombres très grands ou très petits, parfois avec des radicaux. Savoir calculer avec les puissances évite les erreurs de zéros et permet de vérifier un ordre de grandeur.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

2^{- 3}

;

(- 3)^{4}

;

10^{- 2}

Calcule :

(\sqrt{5})^{2}

;

\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}

Écris

5^{3} \times 5^{- 5}

sous forme d’une seule puissance.

Situation problème : Les panneaux solaires

Un panneau solaire installé dans un village de l’Extrême-Nord est carré, de côté $\sqrt{2}$ m. Le chef du projet aligne des panneaux de plus en plus grands : chaque nouveau panneau a un côté $\sqrt{2}$ fois plus grand que le précédent.
Quelle est l’aire du 6e panneau ? Comment l’écrire simplement sans calculatrice ?

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Activité d’apprentissage

On note $c_{1} = \sqrt{2}$ , $c_{2} = (\sqrt{2})^{2}$ , $c_{3} = (\sqrt{2})^{3}$ …

Calcule $c_{2}$ , $c_{3}$ et $c_{4}$ en les écrivant sous la forme $a$ ou $a \sqrt{2}$ , avec $a$ entier.
Écris $(\sqrt{2})^{6}$ comme ${((\sqrt{2})^{2})}^{3}$ et calcule-le.
Calcule $(\sqrt{2})^{- 2}$ et $(\sqrt{2})^{- 3}$ , en écrivant le résultat sans radical au dénominateur.
Exprime l’aire du 6e panneau et calcule-la.

Définition

Pour tout réel

a

et tout entier

n \geq 1

a^{n} = a \times a \times \dots \times a

(

n

facteurs).
Pour

a \neq 0

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Exemple à traiter : Calcule :

(\sqrt{3})^{4}

;

(- \sqrt{2})^{3}

;

(2 \sqrt{5})^{0}

;

(\sqrt{5})^{- 2}

R2 · Règles de calcul

Pour

a

b

réels non nuls,

m

n

entiers relatifs :

a^{m} a^{n} = a^{m + n} \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{m n} (a b)^{n} = a^{n} b^{n} {(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

Exemple à traiter : Simplifie :

(\sqrt{3})^{5} \times (\sqrt{3})^{- 3}

;

\frac{(2 \sqrt{2})^{4}}{(\sqrt{2})^{6}}

;

{(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}

Puissances de 10

10^{n} \times 10^{p} = 10^{n + p}

\frac{10^{n}}{10^{p}} = 10^{n - p}

(10^{n})^{p} = 10^{n p}

. Ces règles servent à écrire un résultat en écriture scientifique

a \times 10^{n}

avec

1 \leq a < 10

Exemple à traiter : Donne l’écriture scientifique de

\frac{4, 5 \times 10^{- 3} \times 8 \times 10^{7}}{1, 2 \times 10^{2}}

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Erreurs fréquentes

⚠ Puissance d’une somme

(a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}

: la règle

(a b)^{n} = a^{n} b^{n}

ne vaut que pour un produit.

⚠ Signe et exposant

- {\sqrt{2}}^{2} = - 2

mais

(- \sqrt{2})^{2} = 2

: les parenthèses comptent.

Exercice d’application

Calcule : $A = (\sqrt{5})^{3} \times (\sqrt{5})^{5}$ ; $B = (3 \sqrt{2})^{- 2}$ .
Simplifie $C = \frac{(\sqrt{3})^{7} \times 3^{- 2}}{(\sqrt{3})^{3}}$ .
La lumière parcourt environ $3 \times 10^{8}$ m par seconde. Quelle distance parcourt-elle en une heure ? Donne l’écriture scientifique.

À retenir

Pour tout réel non nul :

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

(a^{m})^{n} = a^{m n}

. Avec un radical, on utilise

(\sqrt{a})^{2} = a

pour simplifier.