Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres réels · Leçon 4

Quotient de réels comportant un radical

Simplifier un quotient et rendre un dénominateur rationnel.

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Cours de Mathématiques : « Quotient de réels comportant un radical », proposé par ndolomathndolomath

Quotients et radicaux

💡 Idée principale : La racine d’un quotient est le quotient des racines. Pour qu’un résultat soit lisible, on écrit les quotients sans radical au dénominateur, en multipliant par une expression bien choisie.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ .
Écrire un quotient sans radical au dénominateur (cas $\frac{a}{\sqrt{b}}$ ).
Utiliser l’expression conjuguée (cas $\frac{a}{b + \sqrt{c}}$ ).

Pourquoi cette leçon ?

Comparer

\frac{1}{\sqrt{2}}

0, 7

sans calculatrice est difficile ; avec

\frac{\sqrt{2}}{2}

, c’est beaucoup plus simple. Rendre le dénominateur rationnel facilite les comparaisons, les sommes et les vérifications.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\sqrt{3} \times \sqrt{3}

\sqrt{2} \times \sqrt{8}

Développe

(a - b) (a + b)

Simplifie

\frac{6}{4}

\frac{4 \sqrt{5}}{2}

Situation problème : La pente du toit

Un menuisier de Bertoua calcule la pente d’un toit et trouve $\frac{3}{\sqrt{3}}$ . Son collègue trouve $\sqrt{3}$ pour le même toit, et le chef de chantier trouve $\frac{6}{3 + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3}} - 3 + \sqrt{3}$ .
Ont-ils trouvé le même nombre ?

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Activité d’apprentissage

On cherche à se débarrasser d’un radical au dénominateur.

Calcule $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}$ et $\sqrt{\frac{36}{4}}$ . Que remarques-tu ?
Multiplie le numérateur et le dénominateur de $\frac{3}{\sqrt{3}}$ par $\sqrt{3}$ . Que devient le dénominateur ?
Développe $(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ . Le résultat contient-il un radical ?
Utilise ces idées pour comparer les résultats des trois ouvriers.

Quotient de radicaux

Pour

a \geq 0

b > 0

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

Exemple à traiter : Calcule :

\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}

;

\sqrt{\frac{49}{81}}

;

\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{50}}

R2 · Dénominateur

\sqrt{b}

Pour écrire

\frac{a}{\sqrt{b}}

sans radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par

\sqrt{b}

\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{b}

Exemple à traiter : Écris sans radical au dénominateur :

\frac{1}{\sqrt{2}}

;

\frac{6}{\sqrt{3}}

;

\frac{5}{2 \sqrt{5}}

;

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}

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Expression conjuguée

Les expressions

b + \sqrt{c}

b - \sqrt{c}

sont conjuguées : leur produit vaut

b^{2} - c

, sans radical. Pour

\frac{a}{b + \sqrt{c}}

, on multiplie le numérateur et le dénominateur par

b - \sqrt{c}

(et inversement).

Exemple à traiter : Écris sans radical au dénominateur :

\frac{1}{\sqrt{2} - 1}

;

\frac{4}{3 + \sqrt{5}}

;

\frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}

Erreurs fréquentes

⚠ Multiplier seulement le dénominateur

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre, sinon on change la valeur.

⚠ Se tromper de conjugué

Le conjugué de

3 + \sqrt{5}

est

3 - \sqrt{5}

et non

- 3 - \sqrt{5}

Exercice d’application

Écris sans radical au dénominateur : $A = \frac{10}{\sqrt{5}}$ ; $B = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ .
Écris sans radical au dénominateur : $C = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ; $D = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ .
Montre que $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} - \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ s’écrit $k \sqrt{3}$ , où $k$ est un entier à déterminer.

À retenir

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

. Pour enlever un radical du dénominateur : multiplier par

\sqrt{b}

, ou par l’expression conjuguée

b - \sqrt{c}