Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres réels · Leçon 3

Somme et produit de réels comportant un radical

Multiplier, simplifier et additionner des racines carrées.

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Cours de Mathématiques : « Somme et produit de réels comportant un radical », proposé par ndolomathndolomath

Calculs avec radicaux

💡 Idée principale : La racine d’un produit est le produit des racines. Cette propriété permet de simplifier

\sqrt{50}

5 \sqrt{2}

, puis de réduire des sommes de radicaux semblables, comme on réduit des monômes.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ .
Écrire un radical sous la forme $a \sqrt{b}$ avec $b$ entier le plus petit possible.
Réduire une somme de radicaux.
Développer des expressions contenant des radicaux.

Pourquoi cette leçon ?

Dans un calcul de longueur avec Pythagore, on obtient souvent des nombres comme

\sqrt{72}

\sqrt{8} + \sqrt{18}

. Les écrire simplement permet de les comparer et de les additionner sans calculatrice.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

\sqrt{4} \times \sqrt{9}

\sqrt{36}

Réduis :

3 x + 5 x - x

Développe :

(a + b)^{2}

(a - b) (a + b)

Situation problème : La clôture de Fatou

Le terrain de Fatou à Maroua a la forme d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 m et 6 m, accolé à un carré de 18 m² d’aire. Elle doit clôturer le côté $\sqrt{72}$ m du triangle et un côté du carré de $\sqrt{18}$ m.
Son frère affirme que la longueur totale vaut $\sqrt{90}$ m. Fatou pense qu’on peut l’écrire plus simplement. Qui a raison ?

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Activité d’apprentissage

On compare quelques calculs.

Calcule $\sqrt{4} \times \sqrt{25}$ et $\sqrt{4 \times 25}$ . Même question avec $\sqrt{9} \times \sqrt{16}$ et $\sqrt{144}$ .
Calcule $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ et $\sqrt{9 + 16}$ . Que remarques-tu ?
Écris $72 = 36 \times 2$ et $18 = 9 \times 2$ . Déduis-en une écriture simple de $\sqrt{72}$ et de $\sqrt{18}$ .
Réponds à la question de la situation problème.

Produit de radicaux

Pour tous réels positifs

a

b

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}

En revanche, en général,

\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}

Exemple à traiter : Calcule :

\sqrt{2} \times \sqrt{8}

;

\sqrt{3} \times \sqrt{12}

;

\sqrt{5} \times \sqrt{20}

;

2 \sqrt{3} \times 5 \sqrt{3}

R2 · Simplifier un radical

Pour écrire

\sqrt{n}

sous la forme

a \sqrt{b}

: on décompose

n

en produit d’un carré parfait le plus grand possible et d’un entier, puis on applique la règle du produit :

\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5 \sqrt{2}

Exemple à traiter : Écris sous la forme

a \sqrt{b}

\sqrt{12}

;

\sqrt{45}

;

\sqrt{98}

;

\sqrt{300}

Somme de radicaux

On ne peut additionner que des radicaux semblables (même nombre sous la racine) :

a \sqrt{c} + b \sqrt{c} = (a + b) \sqrt{c}

. On simplifie donc d’abord chaque radical.

Exemple à traiter : Réduis :

A = 3 \sqrt{5} - 7 \sqrt{5} + \sqrt{5}

;

B = \sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{50}

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Développer avec des radicaux

On utilise la distributivité et les identités remarquables, sachant que

(\sqrt{a})^{2} = a

Exemple à traiter : Développe et réduis :

C = (2 + \sqrt{3})^{2}

;

D = (\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)

;

E = \sqrt{2} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})

Erreurs fréquentes

⚠ Additionner sous la racine

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7

, alors que

\sqrt{25} = 5

⚠ Mal choisir le carré

Pour

\sqrt{72}

, on prend

36 \times 2

et non

4 \times 18

, sinon il reste à simplifier.

Exercice d’application

Écris sous la forme $a \sqrt{b}$ : $\sqrt{27}$ ; $\sqrt{80}$ ; $\sqrt{128}$ .
Réduis : $A = 2 \sqrt{12} - 3 \sqrt{27} + \sqrt{75}$ .
Développe et réduis : $B = (3 - 2 \sqrt{2})^{2}$ et $C = (2 \sqrt{3} + 1) (2 \sqrt{3} - 1)$ .
Montre que $\sqrt{72} + \sqrt{18}$ est un multiple de $\sqrt{2}$ .

À retenir

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a b}

mais

\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}

. On simplifie chaque radical avec le plus grand carré parfait, puis on additionne les radicaux semblables.