Cours
MATHÉMATIQUES · 3e
Chapitre : Nombres réels · Leçon 2

L’ensemble des nombres réels

Des entiers aux irrationnels : tous les nombres de la droite graduée.
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Cours de Mathématiques : « L’ensemble des nombres réels », proposé par ndolomathndolomath
Nombres réels
💡 Idée principale : Certains nombres, comme 2 ou π, ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction : ce sont des irrationnels. Avec les rationnels, ils forment l’ensemble R des nombres réels, qui correspond à tous les points d’une droite graduée.
Ce que tu vas apprendre
  1. Connaître les ensembles N, Z, D, Q et R et leurs inclusions.
  2. Reconnaître un nombre irrationnel.
  3. Placer un nombre réel sur une droite graduée.
  4. Utiliser les symboles ∈, ∉, ⊂.
Pourquoi cette leçon ?
La diagonale d’un carré de côté 1 m a une longueur bien réelle, mesurable avec une ficelle. Pourtant, aucune fraction ne l’exprime exactement. Il faut donc agrandir notre ensemble de nombres.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Classe : −3 ; 0,25 ; 13 ; 12 dans les bons ensembles parmi N, Z, D, Q.
2
Calcule la diagonale d’un carré de côté 1.
3
Donne une valeur approchée de π.
Situation problème : La ficelle du maçon

Pour tracer un carré de 1 m de côté, un maçon de Kumba vérifie l’angle droit en mesurant la diagonale avec une ficelle. Son apprenti lit sur la calculatrice 1,414213562 et pense que la diagonale vaut exactement 14142135621000000000 m.
A-t-il raison ? Quel type de nombre est cette diagonale ?

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Activité d’apprentissage

On étudie la diagonale d d’un carré de côté 1.

  1. Montre que d2=2, donc d=2.
  2. Calcule 1,4142135622. Le résultat est-il exactement 2 ?
  3. Construis sur une droite graduée le point d’abscisse 2 à l’aide d’un compas.
  4. Cite d’autres nombres dont l’écriture décimale semble ne jamais s’arrêter ni se répéter.
R1
Nombres irrationnels
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’écrire sous la forme ab avec a et b entiers. Son écriture décimale est illimitée et non périodique.
Exemples : 2, 3, π. Si n n’est pas un carré parfait, n est irrationnel.
Exemple à traiter : Parmi 16 ; 5 ; 227 ; π ; 0,1212…, lesquels sont irrationnels ?
R2 · Les ensembles de nombres
L’ensemble des nombres réels R est formé des rationnels et des irrationnels : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R À chaque réel correspond un unique point de la droite graduée, et inversement.
Exemple à traiter : Complète par ∈ ou ∉ : −7…N ; 34…D ; 3…Q ; 3…R ; 13…D.
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R3
Placer un réel sur une droite
• Un rationnel se place avec des partages réguliers.
• Une racine carrée se construit avec le théorème de Pythagore et un compas : 2 est la diagonale du carré de côté 1, 5 l’hypoténuse du triangle rectangle de côtés 1 et 2.
Exemple à traiter : Construis sur une droite graduée les points d’abscisses 2, 5 et −2.
Erreurs fréquentes
⚠ Prendre une valeur affichée pour exacte
1,414213562 n’est qu’une valeur approchée de 2.
⚠ Croire que toute racine est irrationnelle
49=7 est un entier naturel.
Exercice d’application
  1. Recopie et complète le tableau en cochant les ensembles auxquels appartient chaque nombre : 5 ; −124 ; 0,375 ; 27 ; 11 ; −25.
  2. Vrai ou faux : « tout nombre décimal est rationnel » ; « tout nombre réel est rationnel » ; « Z⊂D ».
  3. Construis le point d’abscisse 10 sur une droite graduée en expliquant ta méthode.
À retenir
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R. Les irrationnels (2, π…) sont des réels qui ne s’écrivent pas sous forme de fraction.
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