Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres réels · Leçon 1

Racine carrée d’un nombre réel positif

Le nombre positif dont le carré est donné.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Racine carrée d’un nombre réel positif », proposé par ndolomathndolomath

Racine carrée

💡 Idée principale : La racine carrée d’un nombre positif

a

est le nombre positif dont le carré vaut

a

. Elle permet de retrouver le côté d’un carré à partir de son aire, et une longueur avec le théorème de Pythagore.

Ce que tu vas apprendre

Définir la racine carrée d’un nombre positif.
Connaître les carrés parfaits usuels.
Utiliser $(\sqrt{a})^{2} = a$ et $\sqrt{a^{2}} = a$ pour $a \geq 0$ .
Résoudre l’équation $x^{2} = a$ .

Pourquoi cette leçon ?

On connaît l’aire d’un terrain carré et l’on veut la longueur de la clôture ; on connaît deux côtés d’un triangle rectangle et l’on cherche le troisième. Dans les deux cas, on a besoin d’un nombre dont on connaît seulement le carré.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

7^{2}

;

12^{2}

;

(- 5)^{2}

;

0, 3^{2}

Énonce le théorème de Pythagore.

Existe-t-il un nombre dont le carré est

- 4

? Pourquoi ?

Situation problème : Le jardin carré

Le père de Lionel possède à Dschang un jardin carré de 225 m². Il veut l’entourer de grillage, vendu 1 200 F le mètre. Il possède aussi une parcelle carrée de 50 m².
Quelle longueur de grillage faut-il pour le jardin, et combien coûtera-t-il ? Peut-on donner exactement le côté de la parcelle de 50 m² ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Racine carrée d’un nombre réel positif », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On cherche le côté $c$ d’un carré dont on connaît l’aire $A$ .

Trouve $c$ lorsque $A = 49$ , $A = 225$ et $A = 0, 36$ .
Avec la calculatrice, trouve un nombre dont le carré vaut 50. Le résultat affiché est-il exact ? Vérifie en l’élevant au carré.
Combien de nombres ont pour carré 49 ? Lequel convient pour une longueur ?
Réponds aux questions de la situation problème.

Définition

Soit

a

un nombre positif. La racine carrée de

a

, notée

\sqrt{a}

, est le nombre positif dont le carré est égal à

a

.
Pour tout

a \geq 0

\sqrt{a} \geq 0

(\sqrt{a})^{2} = a

. La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

Exemple à traiter : Calcule :

\sqrt{81}

;

\sqrt{0}

;

\sqrt{1, 44}

;

(\sqrt{7})^{2}

. Que dire de

\sqrt{- 9}

R2 · Carrés parfaits

a \geq 0

, alors

\sqrt{a^{2}} = a

. Les nombres

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225

sont des carrés parfaits : leur racine carrée est un entier.
Attention :

\sqrt{(- 3)^{2}} = \sqrt{9} = 3

Exemple à traiter : Calcule :

\sqrt{169}

;

\sqrt{(- 11)^{2}}

;

\sqrt{10^{4}}

;

\sqrt{\frac{25}{64}}

Équation

x^{2} = a

• Si

a > 0

: l’équation a deux solutions,

\sqrt{a}

- \sqrt{a}

.
• Si

a = 0

: une seule solution, 0.
• Si

a < 0

: aucune solution.

Exemple à traiter : Résous :

x^{2} = 36

;

x^{2} = 13

;

x^{2} = - 4

;

x^{2} - 2 = 0

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Racine carrée d’un nombre réel positif », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier la solution négative

x^{2} = 36

a deux solutions : 6 et −6.

⚠ Racine d’une somme

\sqrt{9 + 16}

ne vaut pas

\sqrt{9} + \sqrt{16}

: on calcule d’abord la somme.

Exercice d’application

Calcule sans calculatrice : $\sqrt{196}$ ; $\sqrt{0, 49}$ ; $\sqrt{9 + 16}$ ; $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ . Compare les deux derniers résultats.
Résous dans $R$ : $x^{2} = 121$ ; $2 x^{2} = 18$ ; $x^{2} + 5 = 0$ .
Un triangle $A B C$ est rectangle en $A$ avec $A B = 5$ cm et $A C = 12$ cm. Calcule $B C$ .

À retenir

\sqrt{a}

existe seulement si

a \geq 0

; c’est le nombre positif dont le carré vaut

a

. L’équation

x^{2} = a

(avec

a > 0

) a deux solutions :

\sqrt{a}

- \sqrt{a}