Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres rationnels · Leçon 5

Opérations avec des écritures fractionnaires et décimales

Passer d’une écriture à l’autre pour calculer juste.

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Cours de Mathématiques : « Opérations avec des écritures fractionnaires et décimales », proposé par ndolomathndolomath

Fractions et décimaux

💡 Idée principale : Un même nombre rationnel peut s’écrire sous forme de fraction ou sous forme décimale (finie ou illimitée périodique). On choisit l’écriture la plus adaptée pour calculer exactement.

Ce que tu vas apprendre

Passer d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire, et inversement.
Reconnaître un décimal parmi les rationnels.
Écrire une fraction dont l’écriture décimale est périodique.
Calculer avec des nombres donnés sous des écritures différentes.

Pourquoi cette leçon ?

Les prix s’affichent en décimaux, les recettes et les partages en fractions. Pour calculer exactement, il faut savoir transformer l’une en l’autre :

\frac{1}{3}

ne vaut pas exactement

0, 33

Prérequis : vérifie tes bases

Écris sous forme de fraction décimale :

0, 7

;

2, 35

;

0,008

Pose la division de 3 par 8, puis celle de 2 par 3.

Décompose 40 et 12 en produits de facteurs premiers.

Situation problème : Le prix du tissu

Au marché Mokolo, un pagne coûte 4 500 F le mètre. Sandrine en achète $2, 25$ m, puis $\frac{2}{3}$ m d’un autre tissu à 3 600 F le mètre. Sa calculatrice affiche $0,666 6667$ pour $\frac{2}{3}$ .
Combien paie-t-elle exactement ? Son résultat avec la valeur affichée est-il juste ?

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Activité d’apprentissage

On étudie l’écriture décimale de quelques fractions.

Donne l’écriture décimale de $\frac{3}{8}$ , $\frac{7}{20}$ et $\frac{2}{3}$ . Laquelle ne « s’arrête » pas ?
Décompose les dénominateurs 8, 20 et 3 en facteurs premiers. Quelle différence observes-tu ?
On pose $x = 0,666 \dots$ . Calcule $10 x - x$ . Déduis-en une fraction égale à $x$ .
Calcule exactement le prix payé par Sandrine.

Décimal ou non ?

Une fraction irréductible

\frac{a}{b}

est un nombre décimal si et seulement si la décomposition de

b

ne contient que les facteurs premiers 2 et 5.
Sinon, son écriture décimale est illimitée périodique :

\frac{1}{3} = 0,333 \dots

\frac{5}{11} = 0,454 5 \dots

Exemple à traiter : Sans calculatrice, dis si ces nombres sont décimaux :

\frac{7}{40}

;

\frac{9}{12}

;

\frac{5}{6}

;

\frac{13}{125}

R2 · D’une écriture décimale à une fraction

• Décimal :

2, 35 = \frac{235}{100} = \frac{47}{20}

.
• Périodique : on pose

x

égal au nombre, on multiplie par

10^{p}

(

p

= longueur de la période), puis on soustrait pour éliminer la partie qui se répète.

Exemple à traiter : Écris sous forme de fraction irréductible :

0,125

;

0,777 \dots

;

1,232 3 \dots

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Calculer avec des écritures mélangées

Pour un calcul exact, on écrit tous les nombres sous forme de fraction. On ne remplace une fraction par une valeur décimale approchée qu’à la fin, si on demande un arrondi.

Exemple à traiter : Calcule exactement

A = 0, 75 + \frac{5}{6} - 1, 2

B = 0, 4 \times \frac{15}{8} \div 2, 5

Erreurs fréquentes

⚠ Arrondir trop tôt

Remplacer

\frac{2}{3}

par

0, 67

en cours de calcul fausse le résultat final.

⚠ Confondre décimal et rationnel

\frac{1}{3}

est rationnel mais n’est pas décimal : son écriture décimale ne s’arrête pas.

Exercice d’application

Parmi $\frac{21}{35}$ , $\frac{11}{24}$ et $\frac{27}{150}$ , lesquels sont décimaux ? Donne leur écriture décimale si c’est le cas.
Écris $0,272 7 \dots$ et $3,111 \dots$ sous forme de fraction irréductible.
Calcule exactement $C = (1, 5 - \frac{2}{3}) \times 0, 6 + \frac{1}{4}$ , puis donne un arrondi au centième.

À retenir

Une fraction irréductible est décimale si son dénominateur n’a que 2 et 5 comme facteurs premiers. Pour calculer exactement, on passe en fractions et on n’arrondit qu’à la fin.