Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres rationnels · Leçon 4

Opérations avec des nombres en écriture fractionnaire

Enchaîner les opérations en respectant les priorités.

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Cours de Mathématiques : « Opérations avec des nombres en écriture fractionnaire », proposé par ndolomathndolomath

Calculs fractionnaires

💡 Idée principale : Dans une expression qui mélange sommes, produits, quotients et puissances de fractions, on applique les priorités de calcul comme avec les entiers, en simplifiant à chaque étape.

Ce que tu vas apprendre

Respecter les priorités dans un calcul avec des fractions.
Calculer une fraction « à étages ».
Simplifier les résultats et donner une écriture irréductible.

Pourquoi cette leçon ?

Les calculs de la vie courante (recettes, partages, pourcentages successifs) enchaînent souvent plusieurs opérations. Une erreur d’ordre dans les calculs donne un résultat faux, même si chaque opération est juste.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

\frac{3}{4} + \frac{5}{6}

;

\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}

;

\frac{3}{4} \div \frac{9}{2}

Calcule

5 + 3 \times 4^{2}

(5 + 3) \times 4^{2}

Donne l’inverse de

- \frac{7}{3}

Situation problème : La recette de beignets

Pour préparer des beignets, la recette demande $\frac{3}{4}$ kg de farine pour 20 beignets. Mama Ewodo veut faire 50 beignets, mais il lui reste déjà $\frac{1}{3}$ kg de farine. Le kilo coûte 600 F.
Son fils écrit : $600 \times \frac{3}{4} \times \frac{50}{20} - \frac{1}{3}$ . Sa fille écrit : $600 \times (\frac{3}{4} \times \frac{50}{20} - \frac{1}{3})$ . Lequel des deux calculs donne la dépense en farine ?

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Activité d’apprentissage

On compare deux calculs qui utilisent les mêmes nombres.

Calcule $\frac{3}{4} \times \frac{50}{20}$ . Que représente ce nombre ?
Calcule l’expression du fils, puis celle de la fille, en respectant les priorités.
Explique pourquoi les deux résultats sont différents. Lequel répond à la question ?
Calcule $F = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}}$ de deux manières différentes.

Priorités de calcul

Dans une expression, on effectue dans l’ordre :
1. les calculs entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ;
2. les puissances ;
3. les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
4. les additions et soustractions, de gauche à droite.

Exemple à traiter : Calcule

A = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \times \frac{4}{15}

B = (\frac{2}{3} - \frac{5}{6}) \times \frac{4}{15}

R2 · Fractions à étages

Pour calculer

\frac{A}{B}

, où

A

B

sont des expressions :
• on calcule séparément le numérateur

A

et le dénominateur

B

;
• puis on multiplie

A

par l’inverse de

B

.
La grande barre de fraction joue le rôle de parenthèses.

Exemple à traiter : Calcule

C = \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{5}}{\frac{3}{10} - 1}

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Simplifier au bon moment

On simplifie les fractions dès que possible : avant une multiplication, et à la fin de chaque étape. Le résultat final est donné sous forme irréductible (ou entière).

Exemple à traiter : Calcule

D = {(\frac{3}{2})}^{2} - \frac{7}{4} \div \frac{14}{3}

Erreurs fréquentes

⚠ Calculer de gauche à droite

Dans

\frac{2}{3} - \frac{5}{6} \times \frac{4}{15}

, le produit se calcule avant la soustraction.

⚠ Simplifier une somme

On ne simplifie jamais un terme d’une somme avec un dénominateur : seuls les facteurs se simplifient.

Exercice d’application

Calcule et donne le résultat irréductible : $E = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} \times (\frac{2}{3} - \frac{1}{6})$ .
Calcule $F = \frac{2 - \frac{3}{5}}{\frac{7}{10} + \frac{1}{2}}$ .
Calcule $G = (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{5})$ . Que remarques-tu ?

À retenir

Parenthèses, puissances, produits et quotients, puis sommes et différences. Une grande barre de fraction se calcule « étage par étage », puis on multiplie par l’inverse du dénominateur.