Cours

MATHÉMATIQUES · 3e

Chapitre : Nombres rationnels · Leçon 3

Puissances entières d’un nombre rationnel

Écrire et calculer des produits répétés, même avec des exposants négatifs.

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Cours de Mathématiques : « Puissances entières d’un nombre rationnel », proposé par ndolomathndolomath

Puissances de rationnels

💡 Idée principale : La puissance

a^{n}

est le produit de

n

facteurs égaux à

a

. Les règles de calcul sur les exposants permettent de simplifier rapidement des produits et des quotients de puissances, y compris avec des exposants négatifs.

Ce que tu vas apprendre

Définir $a^{n}$ , $a^{0}$ et $a^{- n}$ pour un rationnel $a$ non nul.
Appliquer les règles de calcul sur les puissances.
Calculer la puissance d’une fraction.
Utiliser l’écriture scientifique.

Pourquoi cette leçon ?

Les distances entre les astres, la taille des microbes ou le nombre de grains de maïs dans un grenier s’écrivent avec beaucoup de zéros. Les puissances permettent de les écrire en peu de place et de les comparer facilement.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

2^{5}

;

(- 3)^{3}

;

(- 1)^{10}

Écris sous forme d’une seule puissance :

5^{2} \times 5^{4}

Calcule

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}

Situation problème : La tontine qui double

Dans une tontine de Bafang, Clarisse place une somme qui double chaque année. Sa sœur, elle, voit son épargne divisée par 2 chaque année à cause de dépenses imprévues.
Comment écrire simplement ce que devient chaque somme au bout de 10 ans ? Et ce qu’elle était il y a 3 ans ?

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Activité d’apprentissage

On écrit les puissances de 2 et de $\frac{1}{2}$ .

Complète : $2^{4} = \dots$ ; $2^{3} = \dots$ ; $2^{2} = \dots$ ; $2^{1} = \dots$ . Par quel nombre divise-t-on à chaque étape ?
En continuant la régularité, quelle valeur proposes-tu pour $2^{0}$ , $2^{- 1}$ , $2^{- 2}$ ?
Calcule ${(\frac{1}{2})}^{3}$ et compare avec $2^{- 3}$ .
Écris $2^{3} \times 2^{5}$ et $\frac{2^{7}}{2^{3}}$ sous forme d’une seule puissance. Quelle règle observes-tu ?

Définitions

Pour tout rationnel

a

et tout entier naturel

n \geq 1

a^{n} = a \times a \times \dots \times a

(

n

facteurs).
Pour

a \neq 0

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

.
Signe : une puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair, négative s’il est impair.

Exemple à traiter : Calcule :

(- 2)^{5}

;

3^{- 2}

;

{(- \frac{1}{5})}^{0}

;

(- 4)^{- 3}

R2 · Règles de calcul

Pour

a

b

non nuls,

m

n

entiers relatifs :

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{m n} (a b)^{n} = a^{n} b^{n}

Exemple à traiter : Écris sous la forme

a^{n}

7^{4} \times 7^{- 6}

;

\frac{3^{5}}{3^{- 2}}

;

(5^{- 2})^{3}

;

2^{3} \times 5^{3}

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Puissance d’un quotient

Pour

b \neq 0

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

et, pour

a \neq 0

{(\frac{a}{b})}^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}

Exemple à traiter : Calcule :

{(\frac{2}{3})}^{4}

;

{(\frac{- 3}{4})}^{- 2}

;

{(\frac{1}{10})}^{- 3}

Écriture scientifique

Tout décimal non nul peut s’écrire

a \times 10^{n}

, avec

1 \leq | a | < 10

n

entier relatif : c’est son écriture scientifique.

Exemple à traiter : Donne l’écriture scientifique de

384 000

, de

0,000 72

et de

\frac{6 \times 10^{4} \times 15 \times 10^{- 7}}{9 \times 10^{- 2}}

Erreurs fréquentes

⚠ Multiplier les exposants

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

: on additionne les exposants, on ne les multiplie pas.

⚠ Croire

a^{- n}

négatif

2^{- 3} = \frac{1}{8}

est positif : l’exposant négatif indique un inverse.

Exercice d’application

Simplifie et écris sous la forme $2^{p} \times 3^{q}$ : $A = \frac{6^{3} \times 2^{- 4}}{9^{2}}$ .
Calcule $B = {(\frac{2}{5})}^{- 2} \times {(\frac{5}{4})}^{3}$ et donne le résultat sous forme irréductible.
La masse d’un grain de sable est d’environ $2 \times 10^{- 5}$ kg. Combien y a-t-il de grains dans un tas de $3 \times 10^{3}$ kg ? Donne l’écriture scientifique.

À retenir

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

a^{0} = 1

. Même base : on additionne les exposants pour un produit et on les soustrait pour un quotient.